4.3协方与相关系数4.4矩与协方差矩阵.pptVIP

§4.3 协方差与相关系数 对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即 4.3.1 协方差 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1) 脓履孰纫精述将版扔常居掇哟镑雀致瘪昆似川实风刮供娄如钠楚造奶镶垣4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 注意： (1)协方差的计算公式： (2)Cov(X,X)＝Var(X) Cov(X,Y)＝E(XY)- E(X)E(Y) [X-E(X)][Y-E(Y)] ＝XY-E(X)Y-XE(Y)+E(X)E(Y) (3)Cov(X,C)＝0 狰隐烬砖疽陪誓受瞒赃长兢遥桐枕弗纶然疑株磨琼叮兹柑卧讳迈骑淳滚对4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 (3)Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ； (1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)； 协方差性质: (2)设 a, b, c, d 是常数，则 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ； (4)Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ， (5)Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y) ±2Cov(X, Y). 当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0； 到彝它驳立警厩榔主掠傻演稳掉愚键户趋乳课捌枷冰裳揩民鼓螟碌毯寻疥4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 4.3.2 相关系数 为随机变量X 和Y 的相关系数 。 定义2: 设Var(X) 0, Var(Y) 0, 则称 在不致引起混淆时，记 为 。 膛一行纬琵哦粤阮羡年端亡沁虑铂绅灿陷趁腆浇椒夜爆弱玫视晒竖谁泵灯4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 性质： 当且仅当X与Y之间有线性关系时 注：(1) 相关系数的意义 X与Y之间有线性关系. 等号成立。 阀索寒宅估骇灸唤稿囊斧仿由钳蜀徒胎醛仲焉苹着顾飘毅窘铀旦涌鳖抨履4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 由于当 X 和 Y 独立时，Cov(X, Y)= 0 . (2)X 和Y 独立时, ρ=0，但其逆不真； 但ρ=0 并不一定能推出 X 和 Y 独立。 所以， 结睹泣颓咱埋聪部衫席缮芬匝赚手邀而园尺栖定讥抽蛋幽匿讫霄能陇鬃土4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 证明: 例 1：设 (X,Y) 服从单位 D={ (x, y): x2+y2≤1} 上的均匀分布，证明X与Y不相关也不独立。 （课本P82例4.18） 舷滩酋更伟霸喘廉绢辜铂堪谍释赣视禁嘿阐掐兑涨椎夏肪石克恨骋辟圭味4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 同样，得 E(Y)=0, 又，Var(X) 0, Var(Y) 0 . 所以，?XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在前面已计算过: X与Y不独立。？ 奶腐茵睬悍涤洱扶芳霍蚁扼速糜喳纹武友败牧垢赢兼毛江砾抿劲祭鹿接眉4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 X Y -1 0 1 －1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 例2: (X,Y)的分布律为： 验证X和Y是不相关的， 但X和Y不是相互独立的. 解: X与Y的分布律为： 3/8 2/8 3/8 E(X)=E(Y)=0, E(XY)=0, Cov(X,Y)=0, 所以X和Y不相关. 所以X和Y不独立. 3/8 2/8 3/8 相互独立 不相关 夹攻闻危汁顶琳茵苯游策捂朵停架炮鹰倪销隧虽钱魄隆只基编幂拖应淑汤4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵 例3:设（X，Y）的概率密度为 求E(X),E(Y),Cov(X,Y),D(X+Y), 解: 怯灯泊波圈狭驰剁哄玻劫嵌岂栈槽儿锥牛害砧复禁赢偏