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第四章多元线性回归模型(Multiple linear regression model) 一、概述 多元线性回归模型 多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 自己根据理论或经验认识写出几个多元线性回归模型. 多元线性回归模式的总体回归函数 三个变量的模型 假定 Y 代表产出， X1 和 X2 分别代表劳动和资本投入. 如何分解劳动和资本对产出影响？ 我们需要控制一个因素的影响才能知道另一个因素的影响。 例子: 二、多元线性回归模型的假定 多元线性模型增加的一个假定 与一元线性回归模型相比，多元线性回归模型只增加了一个假定，即解释变量之间不存在完全的多重共线性，更具体地说，这要求回归模型中没有一个解释变量可以表示成其余解释变量的线性组合。 如果存在多重共线性，我们将无法分离解释变量各自对被解释变量的影响。 多重共线性 多元 所谓的“多元”，既可以是用多个不同的指标做解释变量的情况，也可以是用同一个指标的多个不同数学表达形式做解释变量的情况。 举例来说，从数学角度看， 三、参数估计 1、估计（Estimation） 最小二乘原理: 最小二乘估计量 2、估计量的精度 对于简单线性回归模型( the Simple linear Regression Model)，若: 满足经典线性回归模型基本假定 采用最小二乘法估计参数量： 则，估计量具有如下性质： 估计量的性质 无偏性 有效性 一致性 (a)无偏性 含义：在重复抽样意义上，估计量的期望值等于其真值。 (b)有效性 最小二乘估计量具有最小方差。 即： (c)估计量的一致性 当样本越来越大时，估计量是否趋于真值。且样本越大，估计越精确。 (as the sample size goes to infinity, the distribution of to converge to ), 即： 四、关于样本规模 1、最小样本容量 所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。 五.拟合优度 等式两边都除以 TSS，得： 1 = ESS/TSS + RSS/TSS 其中，ESS/TSS = R2 (coefficient of determination) R2 给出了总离差由样本回归方程所解释的部分 R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。 虽然R2可按上述所给的定义直接计算，但利用下面的公式能更加快捷的求得： R2 的进一步说明 R2是解释变量个数的非递减函数，即增加解释变量不会降低R2，在大多数情况下，R2 会增大。 由于 R2 通常随解释变量个数而增大,因此，不适合以 R2 值比较模型好坏。 例子:生产函数 六、方程总体显著性检验(Testing overall significance for function)  知识复习(review) 对于 ?1 和 ?2 是偏回归系数(partial regression coefficients) 随机项μ~N(0, ?2) 自由度(Degrees of freedom) n - k-1=n-3 每个系数(coefficient)的估计量服从自由度(df =n-3)的t分布。 1.方程总体显著性检验(Testing overall significance for function) 方程总显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著(overall significance )成立作出推断(inference)。 F检验(F- test) 对于多元回归模型，方程总显著性检验用到 F 检验法. 给定置信度水平的F检验(F-test for giving level of confidence) 给定显著性水平?，可得到临界值(critical values)：F?(k,n-k-1)，与由样本求得的统计量F值比较： 若 F? F?(k,n-k-1) ，那么，在给定显著性水平上拒绝原假设H0 ，即方程在总体上存在线性关系。 若 F?F?(k,n-k-1)，则接受原假设H0 (H0 is acceptable ) ，方程的总体线性关系在给定的显著性水平上不成立。 模型检验(model tests) 经济意义检验(test for economic meaning) 系数的符号 系数的大小(positive coefficient=0.3878) 估计标准误差评价(S.E. of regression)