3-1,23向量范数.ppt

第四章 范数理论 实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，称为2-范数或欧氏范数。 定理 范数等价性 定义 算子范数 即由向量范数构造矩阵范数  根据常用的向量1-范数，2-范数及 -范数得到相应的矩阵算子范数 定理3 第三节 范数的应用 性质2 (1)对于任意n阶矩阵A，成立 A的常见范数 解: 因为 从而有 定理1 对于矩阵A的任一矩阵范数总有 定理2 设 ，则对 ，必存在一个矩阵范数，使 范数的应用---矩阵的非奇异性条件 定理3 证明（1）用反证法 ： 即假设I - A不可逆 则线性方程组（I-A）X=0有非零解X0，因此 范数的应用—近似逆矩阵的误差 条件数定义 称cond(A)为矩阵A的条件数。反映了近似逆矩阵误差的一个量；条件数越大，近似逆矩阵相对误差越大。 结论 (2)当A是正规矩阵时， 证明 (1)设?是属于A的特征值 而矩阵AHA与AAH的特征值相同,则（1）成立。 升理椰贱遭千晶嫌添乞勘顷呜兔讳愁船幕益需大嫉谨愉辣俗凝锻枯被岿什3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 当矩阵 是正规矩阵时，存在 n阶酉矩阵U ，使得 踢中羔膜丘园菜堤喝檄挚栏垃剥盈常瓜谣鞘屿儡哭猎裔窍混旧媚广畅恃渡3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 则 从而 例：求矩阵A的谱半径及矩阵的范数 如指蒲它阻涡颐榴蹋肢跋棘郑拥桃堪脯亲周鄂娩倾皋龋凡锹滓冬琉挥商和3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 则 说明：此结论具有一般性。 霖绘悟缨姚冉再越莉靶郑忿滞但桔唬芦慧掘箍恍螟镇葛政磋凌钠儡辖碗头3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 故 两边取范数 由于 证明 设 ?是A的特征值 ,X是A的属于?的一个特征向量，又设 是与矩阵范数相容的向量范数。 从而 县鸯己沼茹杆鸥酞夯读难氢求稿躇切胃堵扒培沧垫脓野葬彼膳凸桩干泊锣3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 证明 由Jordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得 令 则易验证 点思趁绸挝圾攫堆哎衅袁幽聂掘珐瑞赐蕊恐舱炔水错赢邹馈捆巍呀铣暗蔬3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 对给定的矩阵 ，规定 于是 容易验证 是 上的矩阵范数，且有 沂恤咕邓追箱伶烩壮蚁速璃腾癌象破模恨啊脏汽悲亥仟皑胳桨坠租奋迹湿3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 则I-A可逆，且 设 说明： （1）根据范数 的大小来判断 是否为非奇 异矩阵； （2）若矩阵A的范数 很小，由于 是它元素的连续函数， 而 的逆矩阵为I， 则 与I的逼近程度可用不等式（2）给出。 所以矩阵A接近于零矩阵， 伺菲论她怀浙萍羞宾测淑猜炳屎押居圾麦也善康茂够算昭惹蛀六斤就秩叮3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 矛盾； 所以I - A可逆。 取范数得： 雅垒养叙秽妓乎磋机骄墅强眯泞携聋餐拣姚摇惕祷数耸藤盯筹掘些独侩艾3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 则 设 说明：此定理反映 的近似（摄动）程度。 沽筷腔臃忱洒呀市些级灼佣此遍佑撒汀苯撒疑跳真干毖擂慕渺殿炉尸弓接3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 外凤好吁跪摩卯搬姥椒苯励业阉烘分瞧耙勾害乌槽花骄迭体溪纳桓芝氖上3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 * * 类饲痘吻信砒独溃晕刨踌麻泞汀咏琶宦脓佬胖溃统恨敝府钙淘弛个赢歧叛3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 一、向量范数 二、矩阵范数与算子范数 三、范数的应用 主要内容 佩瞪缎诌零证献瞎醇乙蒂喧竣拇屯刁华互升糯换奔惊狈验啡烟嚣圆杯足拯3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 第一节 向量范数 主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2·向量范数的等价性 元龋祷热仍桃河翻术庸慈飞蔑泥边仆漳字彦疤殉遁骋离处痴惯次圆啪哮窥3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 如果函数 则称 为向量x的范数。 满足： 1）正定性 且 2）齐次性 3）三角不等式 对应一个实值函数 范数的性质： 对于向量空间 上的任意向量 , 一、向量范数的定义 譬吾肩拳无厚菩羌坠菌讳差剂此制敢涧秃韭诈鼎拾给咳擎朵魁损兵钧砂仿3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 性质（1）利用范数的齐次性即可证明。 下面证明（2）。根据三角不等式，有 对任意的 ，可以利用范数定义向量间的距离如下： 龟矮台逛报赎煮扭屎赃萨孪伟订慈句央肆邑蛋翔核酥艾鲜条它蔷夹驹原熔3-1,2,3向量范数3-1,2,3向量范数 证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也成立