232平面向量的正交分解及坐标表示.docVIP

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 考点一：平面向量的坐标表示 1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 2.已知起点和终点求向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示. 显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。 变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求的坐标。 ⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4，方向如图所示，分别求它们的坐标。 ⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=，∠x0A=60°,求向量的坐标。 ⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所示，求a的坐标。 考点二：相等向量的坐标表示 例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______. 变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则x=_______,y=_______. ⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则x=_______,y=_______. ⑶已知向量i=(1,0),j=(0,1)，a=(3i+3j),则a的坐标是______. ⑷在平面直角坐标系中，已知O(0,0),A(1,2),B(-3,4),则向量的坐标是______,向量的坐标是______,向量的坐标是______. ⑸已知O是坐标原点，点M在第二象限，∣OM∣=4， ∠M0y=30°,则向量的坐标是_______. ⑹已知向量=(),向量=(22,3n+7),向量=(m,n),且=，求向量的坐标。 例3：在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标。 ⑴向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度。 ⑵向量b表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度。 ⑶向量c表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度。 变式3：已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2), F(-5,-6),M(2,-2),N(4,-6),求向量，，，的坐标。 考点三：平面向量的坐标运算 1.若，，则， 2.λ＝(λx1，λy1). 3.已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，则=() 例4:已知=(2,1), =(－3,4),求 ＋，－，3＋4的坐标. 解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， －＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)， 3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19). 变式4：⑴已知，，求，的坐标； ⑵已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。 ⑶已知+=(2,-8),－=(－8,16),求和. ⑷已知点，及，，，求点、、的坐标。 例5：已知=(－1,2)，=(1,－1),=(3,－2),且有=p+q,试求实数p,q的值。 变式5：⑴已知=(2,1)，=(1,－3),=(3,5)，把，作为一组基底，试用，表示。 ⑵若点A，B，C三点的坐标分别为(2,－4),(0,6),(-8,10),则的坐标为______.的坐标为______. ⑶已知点A(－2,4),B(3,－1),C(－3,－4),且，，且M,N及的坐标。 ⑷下列说法正确的有（ ）个 ①向量的坐标即此向量终点的坐标 ②位置不同的向量其坐标可能相同 ③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 ④相等的向量坐标一定相同 A．1 B．2 C．3 D．4 考点四：向量共线的坐标表示 1.设=(x1, y1),=(x2, y2)（ (）,其中(,由=λ，(x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ： x1y2－x2y1=0 2.结论：∥ (()x1y2-x2y1=0 注意：1(消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵(，∴x2, y2中至少有