22矩阵的运算.pptVIP

2.2矩阵的运算 一、矩阵的加法 1、定义1：设有两个 矩阵A=(aij)和B=(bij)，矩阵A 与矩阵B的和记作A+B。规定为： 注：1、只有两个是同型矩阵，才能相加； 2、只有对应位置元素才能相加。 2、定义2：设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)，称－A为矩阵 A的负矩阵。 A+(－A)=O 矩阵的减法：A－B=A+（－B） 2、运算律： 设A、B、C都是 矩阵，则矩阵的加法满足以下的 运算律： (1)A+B=B+A (2)（A+B）+C=A+（B+C） 如: , 但: 不可以进行加法 和减法运算 二、数与矩阵相乘 1、定义3：数k与 矩阵A的乘积记作kA或Ak。 规定为 2、运算律： 设A、B都是 矩阵，k、t为数,则矩阵的乘法满足 以下的运算律： (1)(kt)A=k(tA) (2)(k+t)A=kA+tA (3)k(A+B)=kA+kB 如: 矩阵相加与矩阵的数 乘这两种运算统称为 矩阵的线性运算。 1.引例：设甲乙两厂生产产品日产量如表一，这些产品的单位价格和单位利润如表二，求甲乙两厂的日总收入、总利润。 1 2 3 乙 1 3 2 甲 Ⅲ Ⅱ Ⅰ 产品 厂家 4 7 Ⅲ 3 5 Ⅱ 1 2 Ⅰ 单位利润 单位价格 项目 产品 表一 单位:台 表二 单位:千元 三、矩阵与矩阵相乘 甲 乙 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 甲 乙 单位 价格 单位 利润 总收入 总利润 c11：A的第1行与矩阵B的第1列对应元素乘积之和； c12：A的第1行与矩阵B的第2列对应元素乘积之和； c21：A的第2行与矩阵B的第1列对应元素乘积之和； c22：A的第2行与矩阵B的第2列对应元素乘积之和; cij ：A的第 i 行与矩阵B的第 j 列对应元素乘积之和。 1、定义3：设 矩阵，规定矩阵A与B 的乘积是一个 矩阵 ， 即： 记作AB。 其中： 记号AB读作A左乘B或B右乘A --说明A与B位置不能随意互换 注:(1)只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时， 两个矩阵才能进行乘法运算。 例：若 ， ，求AB与B A。 1、判断AB与BA的行数和列数分别是多少。 2、计算。 注：两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵，故不能从AB=O必然 推出A=O或B=O (2)乘积AB的行数等于左边矩阵A的行数，乘积AB的 列数等于右边矩阵B的列数。 (1)矩阵乘法一般不满足交换律 2、运算律： (2)（AB）C =A（BC） (4)（A+B）C =AC+BC ， C（A+B）=CA+CB (3)k（AB）=（kA）B =A（kB） 其中k为数 特别地： 简写成：EA=A AE=A 定义4：如果两矩阵相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵 B可交换，简称A与B可换。 注：单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1。 特别地： 例：已知 ，求AI和IA。 (5)矩阵乘法一般不满足消去律 四、矩阵的转置 1、定义5：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵， 称为A的转置矩阵，记为AT或A/。 特别地：对于对称矩阵有AT=A，反对称矩阵有AT=－A. 2、运算律 (1) (AT)T＝A (2) (A+B)T＝AT+BT (3) (kA)T＝kAT (4) (AB)T＝BTAT 例1：设 ，求(AB)T。 法1 法2 例3：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn)T满足XTX=1，E为n阶单位 矩阵，H=E－2XXT，证明H是对称矩阵，且HHT=E。 例2：试证任意n阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个 反对称矩阵之和。 五、方阵的幂运算 设A为n阶方阵，k、t为正整