第一章线性方程组的解法(新).docVIP

第一章 线性方程组的解法 　　求解线性方程组是科学研究和工程应用中最普遍和最重要的问题，超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某一阶段都与线性方程组的求解有关．本章介绍求解线性方程组的消元法及其矩阵形式． 　　引例 交通流量问题 　　随着城市人口以及交通流量的增加，城市道路交通拥堵问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一.为解决这个世界性难题，各国政府和民间都进行了广泛的研究，提出了提高交通管理水平、增强交通参与者的素质、扩大道路容量、限制车辆增长速度等政策及车牌限行、设置单向行驶道路等措施.以上的政策和措施的一个基础性工作就是各道路的车流量的统计与分流控制.使各道路的交通流量要达到平衡,所谓交通流量平衡是指在每个路口进入的车辆数与离开的车辆数相等．图1是某一城市的道路交通网络图，所有车道都是单行道．箭头给出了车辆的通行方向，数字是高峰期每小时进入和离开路口的车辆数．在满足交通流量平衡的条件下，试问如何分流车辆． 图1 　　为了保证交通流量平衡，得线性方程组 （1.1） 问题归结为讨论线性方程组（1.1）是否有解？若有解，求出方程组的解． 第一节 线性方程组的消元法 一、线性方程组的概念 　　设为实未知量，为实数，为正整数．方程 称为含未知量的线性方程．由个含未知量的线性方程组成的方程组 （1.2） 称为元线性方程组，其中为实数．若 （1.3） 使（1.2）中的每一个方程都成立，则称（1.3）为方程组（1.2）的解． 　　如果线性方程组（1.2）有解，则称方程组（1.2）是相容的；否则，称方程组（1.2）是不相容的． 　　线性方程组解的全体所构成的集合称为该线性方程组的解集．显然，如果线性方程组不相容，其解集必为空集．能表示线性方程组全部解的表达式称为方程组的通解或一般解． 　　具有相同解集的线性方程组称为同解方程组或等价方程组． 二、线性方程组的消元法 　　中学所学的解线性方程组的消元法是求解线性方程组简单有效的方法．现在我们回忆消元法的过程． 　　例1 利用消元法求解线性方程组 解 将方程（1）乘以加到方程（2）上，得等价方程组 由方程（4）解得，再代入方程（3），得，则原方程组的解为．该方程组有唯一解． 　　例2 利用消元法求解线性方程组 （I）； （II） 　　解 （I）方程（3）的两边乘以不为零的常数，得 交换方程（4）与（6）的位置，得 方程（7）乘以加到方程（8）上；方程（7）乘以加到方程（9）上，得 交换方程（11）与（12）的位置，得 方程（15）是矛盾方程，则方程组（I）无解． （II）方程（1）乘以加到方程（2）上；方程（1）乘以加到方程（3）上，得 方程（5）乘以加到方程（6）上，得 解得 令，得方程组的通解为 其中为任意常数．此时方程组有无穷多解． 　　总结例1与例2，我们发现利用消元法求解线性方程组的过程，本质上是对线性方程组的方程进行下列三种变换： 　　（1）交换任意两个方程的位置； 　　（2）某一方程两边乘以不为零的常数； 　　（3）把某一方程的倍数加到另一方程上去． 上述三种变换称为线性方程组的同解变换． 　　另外，我们还可以看到，线性方程组可能无解、可能有解，在有解时可能是唯一解或无穷多解，关于这方面的更深入的研究可参考下一节与第三章第六节． 思 考 题 一 在例1与例2中，细心的读者会发现，这里用消元法求解线性方程组与中学所介绍的形 　　式上有所不同，您能指出它们各自的优点所在吗？ 2．线性方程组的解与未知量的符号表示有关吗？ 3．给定方程组将每个方程交换未知量与的位置，得方程组试问这两个方程组同解吗？ 第二节 矩阵及其初等行变换 一、矩阵 　　例3 利用消元法求解线性方程组 解 将方程（1）乘以加到方程（2）上，得 由方程（4）解得，代入方程（3），得，则原方程组的解． 　　仔细比较例1和例3两个方程组，我们发现线性方程组的解是由未知量系数和方程右边的常数所决定，而与线性方程组的未知量用哪个符号表示无关．鉴于此，在讨论线性方程组（1.2）的求解时，我们可以舍弃未知量（但把未知量牢记于心中），建立方程组（1.2）与行列的数表 （1.4） 的一一对应关系：该数表的第列是未知量前的系数，第列是方程右边的常数；第行代表方程组（1.2）的第个方程．我们称该数表为方程