微积分(下)本科课件9-1改版总.ppt

一、问题的引入 引例 例5. 估计下列积分之值 思考题 1 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 一、问题的提出 2、曲顶柱体体积的计算 当被积函数 注意: 例7. 计算 例10. 计算 思考与练习 一、问题的提出 例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 规定 球 面 圆锥面 半平面 S r M ? y z x 0 r =常数: ? =常数: 球面S 动点M(r,?,?) 球面坐标的坐标面 球面坐标的坐标面 ? C r =常数: ? =常数: S 球面S 半平面P 动点M(r,?,?) M ? y z x 0 ? P ? =常数: 锥面C . r ? ? dr d? rsin? x z y 0 圆锥面? rd? 球面r 圆锥面?+d? 球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成： d? rsin?d? 球面坐标下的体积元素 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r ? ? dr d? x z y 0 d? rd? 元素区域由六个坐标面围成： rsin?d? 球面坐标下的体积元素 . 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r 2 sin? drd?d? sin? drd?d? r 2 rcos ?) dV dV = 如图，球面坐标系中的体积元素为 然后把它化成对 的三次积分 具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是 注 若 积分区域为球体、球壳或其一部分或球体与锥体围成 被积函数呈 而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单 通常采用球坐标。 r R 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 例1. 0 x z y 0 x z y M r ? R 对?: 从0? 积分， . 例1. 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 ? R 对? : 从0? 积分，扫遍球体 ? . 例1. 得锥面 0 x z y 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 对?: 从0? 积分， 0 x z y R ? . 0 I=V 当 f =1, . 例1. 对r: 从0?R积分,得半径 任取球体内一点 得锥面 对?: 从0? 积分， 对? : 从0? 积分，扫遍球体 例2 用球面坐标计算 其中 解 画 ? 图。 确定 r，? ， ? 的上下限。 (1) 将 ? 向 xoy 面投影，得 (2) 任取一 过 z 轴作半平面，得 (3) 在半平面上，任取一 过原点作 射线，得 即 解一 用球坐标 解二 用柱坐标 解 例5. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 解 所围成的立体的体积 解一 （用极坐标） 解二 是柱形区域，用柱坐标 例7 补充：利用对称性简化三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． 一般地，当积分区域 W 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 ) , , ( z y x f 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 ) , , ( z y x f 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 W 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍 . ① 关于 xoy 面对称 ② 关于 xoz 面对称 ③ 关于 yoz 面对称 解 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数, 解 则 在球面坐标系下 为 解 所围成的立体的体积 解一 （用极坐标） 解二 是柱形区域，用柱坐标 例7 z =0 y = 0 x =0 0 y x ?：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域 先画图 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 z = 0 1 . . . 例3.计算三重积分 x + 2y + z =1 Dxy 解: 得到 解 例 4 计算三重积分 其中 W ：平面 , 0 , , 2 , 1 = = = = z x y x x 及 y z = 所围成的闭区域 . 于是， 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或截面法或切片法也可将三重积分化成三次积分 先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分 若 f(x,y,z) 在 上连续 介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之