2013届高考数学一轮复习讲义87 立体几何中的向量方法(Ⅱ) 求空间角与距离.ppt

A P B C o z x y 设 的夹角为θ, A P B C o z x y A P B C o z x y 提示：设正方形ABCD的边长为2a． 要求：本题三问全部用坐标法． 解:⑴ ⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小； 所以二面角P-BC-D的余弦值大小是 ⑶求点D到平面PBC的距离. ⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小； 所以二面角P-BC-D的余弦值是 因为二面角P-BC-D的大小是锐角, ⑶求点D到平面PBC的距离. x y z H A D C B M 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE． ∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点， ∴在△ABC1中，DE∥BC1. ∴BC1∥平面CA1D. 又DE?平面CA1D， BC1?平面CA1D， E E (1)证法二： (1)证法三： A1 B1 C1 A B C D D1 又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面AA1B1B. 又CD?平面CA1D， ∴平面CA1D⊥平面AA1B1B. 又AA1⊥平面ABC， CD?平面ABC， ∴AA1⊥CD. 证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD. 【例】如右图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F ,使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 解：如右图(1)取AD的中点G，连结PG，BG，BD. ∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中,∠DAB＝60°, AD＝AB， ∴△ABD为等边三角形, ∴BG⊥AD. ∴AD⊥PB. ∴AD⊥平面PBG. 又PB?平面PBG， G (2)连结CG，DE，且CG与DE相交于H点， 在△PGC中作HF∥PG,交PC于F点,连结DF. ∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵ PG⊥平面ABCD. ∴FH⊥平面ABCD. 又 FH ?平面DHF， 即F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点， ∴F是PC的中点. 则D(0,0,0), A(2,0,0), O(1,1,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,2)， (1)∵正方形ABCD，∴OC⊥DB. ∵PD⊥平面ABCD,OC?平面ABCD， ∴PD⊥OC. ∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角. 所以PC与平面PBD所成的角为300. 解: 如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵PD=AD=2, 又∵DB∩PD=D, ∴OC⊥平面PBD. (2)设平面PAC的法向量为 令 x=1, 则 y=1, z=1， 所以 D 到平面PAC的距离 注：可用等体积法 (3) 假设在PB上存在E点，使PC⊥平面ADE， 所以存在E点且E为PB的中点时PC⊥平面ADE. 【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论. 由 PC⊥AE, PC⊥DE, 得 此时E(1,1,1). 利用空间向量求空间角 点、线、面之间的位置关系 空间几何体 空间几何体的结构 空间几何体的体积、表面积 柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法 计算公式 面面角 线面角 线线角 图形 角的范围 空间角 l l ①法向量法 注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角. D C B A ②方向向量法： 设二面角α-l-β的大小为θ，其中 l ①点P在棱上 ②点P在一个半平面上 ③点P在二面角内 ι p α β A B A B p α β ι A B O α β ι p —定义法 —三垂线定理法 —垂面法 作二面角的平面角的常用方法 ? l ? 1.定义法 3.垂面法 2. 垂线法 计算公式 面面角 线面角 线线角 角的范围 图形 空间角 求点到平面的距离 定义:一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离.即过这个点到平面的垂线段的长度. A B O 方法2:等体积法求距离. 方法1:利用定义先做出过这个点到平面的垂线段,再计算这个垂线段的长度. ? A P O ? 点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n , 过点P作平面?的垂线PO，记PA和平面?所成的角为?. 则点P到平面的距离 求点到平面的距离 方法3:向量法 空间的角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 空间的距离 点到平面的距离