2012第二章0.pptVIP

综合 I 、II 结果，最后得： 对应 m = 2 n 对应 m = 2n+1 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。 （4）由归一化条件定系数 A [小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下： 一、列出各势域上的S—方程； 二、求解S—方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定 未知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系 数）。 （三）宇称 （1）空间反射：空间矢量反向的操作。 （2）此时如果有： 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。 （四）讨论 一维无限深 势阱中粒子 的状态 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。 而n = ± k, k=1,2,... 可见，n取负整数与正整数描写同一状态。 （1）n = 1, 基态， 与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没 有意义的。 （4）ψn*(x) = ψn(x) 即波函数是实函数。 （5）定 态 波 函 数 （3）波函数宇称 §2 线性谐振子 （一）引言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论 （三）实例 多粒子体系 Hamilton 量 对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用： 而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为： 假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 例如： §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 一、定域几率守恒 二、再论波函数的性质 一、 定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和 湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空 间找到它的几率总和应不随时间改变，即 在讨论了波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内出现的几率(即几率密度)是： …(1) …(2) 概率密度随时间的变化率 …(3) 由Schr?dinger 方程及其共轭式： …(4) …(5) 将（4）（5）两式带入（3）式，得 …(6) 令 称概率流密度矢量 则有 …(7) （7）式是概率（粒子数）守恒定律的微分形式，它具 有连续性方程的形式。 将（7）式对空间任意一个体积 V 求积分： …(8) 应用矢量分析中的高斯定理，把上式等号右边的体积分变为面积分，得 …(9) S ? 上式表明：单位时间内，V中概率的增加 = 穿过表面S流 入体积V的概率。 概率流密度矢量，它在S面上的法向分量表示单位时间内流过S面上单位面积的概率。 对束缚态， 当体积V扩展到整个空间，有 则： …(10) 表明在全空间中找到粒子的几率总和不随时间而变。证毕。 讨论： （1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。 （2） 以粒子质量μ乘连续性方程等号两边，得： 量子力学的质量守恒定律： 单位时间内体积V内质量的增加 = 穿过V的外界面S流进的质量。 质量密度 质量流密度矢量 其中 （3）同理可得量子力学的电荷守恒定律： 其中 电荷密度 电流密度矢量 二、再论波函数的性质 (1) 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d ω(r, t) = |ψ(r, t)|2 d τ (2) 已知 ψ(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 (3) 知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schr?dinger方程即可确定以后时刻的状态。 1、波函数完全描述粒子的状态 2、波函数标准条件 （1） 根据Born统计解释 ω(r, t) = ψ*(r, t) ψ(r, t)是粒子在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求ψ(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。 上式右边含有Ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是