明德第五章留数.pptVIP

4. 利用无穷远点的留数在计算积分中的应用 例8 计算积分 C为正向圆周: 函数 在 的外部, 除 点外没有 其他奇点. 解二 可见,与解 一的方法作比较, 利用无穷远点的留数来计算更简单. 例9 计算积分 C为正向圆周 : 解 除 被积函数 点外, 其他奇点为 由于 与 1在C的内部, 则 所以 小结 本节学习了留数的概念、计算以及留数定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复积分. §5.3 留数在定积分计算中的应用 一、形如 的积分 二、形如 的积分 三、形如 的积分 一、形如 的积分 解 例1 计算 的值。 (2) 函数 有两个孤立奇点： 在 内， 二阶极点 一阶极点 (1) 令 则 (3) ( 注意：一阶极点 不在 内 ) (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高二次； (3)R(z)在实轴上没有孤立奇点 要求 (1) 方法 二、形如 的积分 其中 为多项式； 其中， 是 上半平面内的孤立奇点。 在上半平面内，a i 与 bi 为一阶极点。 (1) 令 解 (2) (3) 例2 计算 三、形如 的积分 (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次； (3) 分母 Q(x) 无实零点。 方法 要求 (1) 其中 为多项式； 其中， 是 上半平面内的孤立奇点。 例3 解： 试问: 在上半平面内，1+3 i 为一阶极点。 (1) 令 解 (2) ex1 计算 (3) (2) * * * （1）定义 （3）根据零点与极点间的关系. 解: 类似的， 二级极点. 四、函数在无穷远点的性态 1. 定义及分类 R x y o 分析： 判别法1 (利用洛朗级数) 2.判别方法 判别法2 : (利用极限特点) 说明:对无穷孤立奇点来说，它的各类型与洛朗级数中系数之间的关系跟有限孤立奇点一样，不过把正幂项与负幂项的作用互相对调了. 课堂练习 答案 * D R2 c §5.2 留 数 留数的定义 有限点留数定理及留数的求法 无穷远点的留数 定义 一、有限远处孤立奇点的留数定义 说明: 函数在有限孤立奇点的留数为罗朗展开式中负一次幂前面的系数. D c . D C . 如图： 根据复合闭路定理， . D C . . 即 如图： 二、留数定理及留数的求法 说明: 将沿闭曲线C积分问题转化为被积函数在 C内各孤立奇点处的留数计算. 1.留数定理 在区域 D内除有限个孤 外处处解析, 立奇点 函数 C 是 D内包围各奇 点的一条正向简单闭曲线, 那么 如何计算留数? 2.留数的计算方法 (1) 如果 为 的在有限远处的可去奇点, 成洛朗级数求 (2) 如果 为 的本性奇点, 展开 则需将 ①若能求出洛朗展式,则负一次幂前的系数即为留数 ②若能提前知道孤立奇点的类型,则可以按照以下规则求: 证 +(含有 正幂的项) [证毕] 解: 例2 求 在有限远孤立奇点处的留数． 解 例3 解 例4 求 解 考虑： 解： z = 0为一级极点。 例5 求 在 的留数. 解 说明: 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要 将m取得比实际的级数高,但有时把m取得比 实际的级数高反而使计算方便.如上例取m=6 解 令 为 的 101 阶极点。 将 在 内展开为洛朗级数： 练习： 计算 为 其中 三、无穷远点的留数 1.定义 证 . . zn. . . . . (绕原点的并将 内部的正向简单闭曲线) 包含在 2.无穷孤立奇点与有限孤立奇点留数的关系 1. 优点: 若有限远处孤立奇点很多，可利用无穷远点的留数来计算积分，避免了计算诸多有限孤立奇点处的留数. 2. 推论1： 说明: 3.无穷远点处留数的计算 *