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拉格朗日中值定理的应用 一 Rolle 定理 A 零点的唯一性问题 这里主要通过单调性来确定零点的唯一性，若0,则严格递增（或0，则严格递减)这时的零点若存在必唯一。 例1：设（a, b)为有限或无穷区间，在（a, b)上为可微，且==A(有限或），试证：（a,b),使得0 证：若A，则0问题自明， 若A，则（a,b），使得A，下设0因为==A，函数在（a,b)内连续，所以对于任意取定的数（A),(a,),(,b)使得==。从而由Rolle定理知，（，）（a,b)使得0，若A=+（或-），则（a,b)任取一点作，上面推理有效。 例2：设在上连续，在（a,b)上可导，==0，试证：R，（a,b)使得a=. 分析：要a=，既要—a=0,亦即要为函数—a的零点，注意到=，因此，只要对函数F（x）=f(x)检验Rolle定理条件，但这是明显的 B 证明中值公式 要点 构造不同的辅助函数，应用Rolle定理，可以导出不同单位中值公式 例：设在上可得，且0.证明：0,使得= 证：问题相当于要找0,使 （—）的导数在的值为零 （1） 因函数F（x)=—在 内可导F（0）=F（+)=0， 所以用推广的Rolle定理知0,使=0，此即（1）式成立 二 Lagrange 定理 A 利用几何意义 要点 由Lagrange定理知，若在 上连续，在(a,b)上可导，则 ，在，之间，使得 = 即曲线上任意二点的弦，必与二点间某点的切线平行，我们正是可以用这种几何 解释进行思考解题。 例1：设是可微函数，导函数严格单调递增，若f（a)=f(b),(ab),试证：对一切x(a,b)有=. 分析： 任意取一点x(a,b) 要证=,作弦线AC,BC应用Lagrange定理，(a,x),(x,b),使得导数，分别等于AC,BC弦的斜率，但是严格递增，所以这就得到（AC弦的斜率）(BC弦的斜率）： 这便得到关于函数值得不等式，注意到=，移项即得= 例2：设函数在闭区间 上连续，在开区间（a,b)内可导，又不是线性函数，且，试证（a,b),使得 证：过点（a ,f(a))与（b,f(b))的线性函数为 Y=f(a) +(x-a) 因不是线性函数，所以F（x)--(x-a)0 (1) 而我们的问题是要证明（a,b)使得 -0 (2) 由于已知条件，可知函数F（x)在 上连续，在（a,b)内可导，F（a)=F(b),满足Lagrange定理的条件，由（1）知，（a,b),使得F（）0或 F（）0或F（）0.例如F（）0,在 上应用Lagrange定理， （a,b),使得 证毕。 B 利用有限增量公式导出新的中值公式 要点 借助不同的辅助函数，可由有限增量公式f(a)-f(b)=（b-a), (a,b)导出新的中值公式。 例1：设在 上连续，在（a,b)内有二阶导数，试证存在c(a,b)使f(b)-2f()+f(a)= (1) 证：（1）式左端 F(b)-2f()+f(a)=---f(a)] =--- 作辅助函数e(x)=f(x+)-f(x) 则上式=e()-e(a)=()(-a)=() (a,) =-= (0,1) = , c = + (a,b） 例2：设在 上连续，在（a,b)内可导，证明：存在(a,b），使得 证：将等式中令端点a,b的表示式与含的表示式分离得 立即可知需引入辅助函数F（x)=f(x).显然F（x)在 上连续，在（a,b)内可导，故存在（a,b)使得 即 C 作为函数的变形 要点 若在 内可微，则在 上，f(x)=f()+(x-)这可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质，此式相当于的Taylar展开式到0次项 例1：设在[0,+)上可微，=0，并设有实数Ao,使得在[0,+)上成立，试证明在[0,+)上0 证：反证法，若0，则，使得0，不妨设0 记 上f(x)0},由连续函数局部保号性，只能=0，（x,)内f（x)0, 令 g(x)=lnf(x) （当x时） 则