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传染病模型分析 09级 数学与运用数学 二班 组长：杨金梅20091501227 组员：牟芃颖 20091501220 浦琼 2009150122 摘要：传染病数学模型的研究有着悠久的历史，现以出现许 多传染病数学模型，本文对传染病模型进行分析，全面考虑 在不同模型中，传染人数，易感人数，无免疫性人数， 有免疫性人数等因素的关系。 相同点： 各模型都是对传染病的传染过程与结果进行分析与预测，都是为了更好的研究与预防各类传染病。分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的途径以达到控制病情扩散，降低传染比率。 不同点： 一、各模型假设差异 模型一 已感染人数（病人）i(t) 假设 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为( 模型二 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康人的 比例分别为i(t),s(t)—— SI 模型 2）每个病人每天有效接触人数为(, 且使接触的健康人致病——( ~ 日接触率 模型三 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染——SIS 模型 假设 在模型二的假设中增加假设 3）病人每天治愈的比例为( ——( ~日治愈率 模型四 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者——SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t) 2）病人的日接触率( , 日治愈率(, 接触数( = ( / ( 模型五 SARS预测模型 假设 从潜伏期感染者(I)出发，经过一段时间后发病 (F)，有症状的感染者具有传染性，一部分可以直接确诊为SARS病人(c)，另一部分先经过疑似病人(P)阶段而被确诊(c)，确诊后经过一段时间可以治愈或者死亡(R)，被治愈的病人不再感染SAILS，各状态的人群之间可以单向流动。潜伏期感染人群按来源分为两部分，一般人群和隔离人群。一般人群即感染来源于一般人群，由社会上没有被监控的散在传染源所造成的传染。隔离人群即在密切监控的人群中所发生的感染。 模型六 SARS模型 假设 ① 因为人们的活动是随机的．为了简化模型可以假设病人与被感染者的个体在人群中混合是均匀的．并且人群个体间是没有差异的。 ②某一时段，某一地区的迁入迁出相对较稳定且占总人数比率较小．故可不考虑人群的迁出和迁入对总人数、潜伏期患者及病人的影响。 ③ 因为SARS感染后都有一定的潜伏期．所以假设每一个病人都经历了潜伏期，也就是说任意的病人都是由潜伏期患者转化而来的。 ④根据有关SARS报道，假设潜伏期患者必定会转化为病人。 ⑤ 假设S(t)，I(t)，E(t)，R(t)是随时间连续变化的。 ⑥将SARS的传播途径均视为与病源的直接接触。 ⑦ 疑似病例与病人被完全隔离，不再具有传染性。 ⑧ 不考虑被隔离，而实际未得病的情况，因为即使有，这部分人是没有自由的，所以他们也不会对传染过程产生影响。 分析：前四个模型中，模型一、二的假设说明染病者一旦得病就不会痊愈，也不会死亡，即永远属于类。此假设存在不合理性需改进。模型三只是针对部分传染病，此传染病的得病者可以治好，得病者不因得病而死亡，也不因疾病治好而具有免疫力，即疾病治好以后仍可能的病，如感冒，痢疾等。模型四则针对永久性的传染病，该病的得病者因病而死亡或病好而具有免疫力，他们退出传染病系统。模型五针对SARS病的预测。模型六假设全面，对传染病问题深入分析，具有较高研究价值。 二、 结果分析 模型一： 模型二： 模型三： ( ~ 日接触率 1/( ~感染期 模型四： 模型五：dI/dt=-αI+(p+c) ×rc +rg F dF/dt=αI－βF dP/dt=βF－θP dC/dt=βF＋θP－ωC dR/dt=ωR 模型六：I＇=εM－qI＋a2 H S＇=Ha1－λMS R＇=qI H＇=－a1H－a2H＋λMSα M＇=λMS(1－α) －εM 结论分析： ①I∞=0，即传染病最终消除。 由于S(t)，S＇=-λSI 0，S(t)单调下降，S∞存在；又R＇=0，R(t)=1，可知，R∞存在，而I=1-S-R→I∞存在。若I∞=ε＞0，由R＇=μI，对充分