微积分(一)习题.docVIP

萧树铁主编的大学数学第二版 《微积分（一）》部分习题解答 习题1.1 函数 1 （B） 2 习题1.2 函数的极限 2 （B） 9 习题2 第2章 导数和微分 10 （B） 16 习题3 第3章 导数的应用 17 （B） 25 习题4 第4章 积分 26 （B） 40 习题5 第5章 积分的应用 40 习题1.1 函数（A） 1.下列各组中，f(x)和g(x)是否表示同一函数？为什么? （1）f(x)= lg x2 与g(x)= 2lgx； （2）f(x)=与g(x)=； 解：（1）不同。f(x)的定义域为R\{0}，而g(x)的定义域为 (0,+∞)，定义域不同. （2）f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1,+∞)，而g(x)的定义域为(1,+∞)，定义域不同. 2. 求下列函数的定义域： （1）y = ； （2）y = ； （3）y =； （4）y = 解：（1）(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,+∞); （2）∵, ∴定义域为(－∞，－3)∪ (,+∞); （3）≥0， ∴，得定义域为 （4） 即，∴ 定义域为。 4. 用分段式表示下列函数 （1） f(x)= ； （2）f(x)= （4）y = 解：（2） ； （4）y = 16. 严格递增(减)的函数也是严格递增(减)的。 证明：证递增的情况，递减类似。用反证法，如果不然， ，，＜,但≥，这时≥，即≥，矛盾。证毕。 18. 判断奇偶性： （3）f(x)= ； 解：f (－－]+= =㏑[x+1－]=㏑1=0 即f (－x)=－f (x)， ∴ 此函数为奇函数。 （4）f(x)=；解：。∴此函数为偶函数。 19. 证明：（1）奇函数的和是奇函数，而其积为偶函数； 此命题不够严密。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。 20.（1）设为在上定义,证明:为偶函数但为奇函数. （2）证明: 在[－a,a]上定义的任何一个函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数的和. 证明:（1） 由题设为定义在的函数, 设， 则的定义域也为 ,. 故是偶函数. 又,.故为奇函数. （2） 设是定义在[－a,a]上的任意函数. 由（1）知为偶函数, 为奇函数. 且. 故命题成立. （B） 1. 设f()=，求f(x)和f() P17 解：==，故f(x)=，f()=－4 4. 设函数f(x)对任意实数x满足等式2 f(x)，求f(x) 解：令，代入已知等式，得，即对任意实数x也满足，与已知等式结合消去得，。 习题1.2 函数的极限 （A） P50 1. 计算下列极限：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 不存在，因为分母趋于0，分子趋于常数。 (9)； (10) 解：= ，所以==1 2. （1），或用等价无穷小代换立即可得。 （2） 或用等价无穷小代换立即可得。 （3）；或原式= （4）由正切函数的周期可知， 所以，= （5） (6) (等价无穷小代换定理) （7）; 解：， =。 （8）= （9） = = （10） （11） （12） （13）=2 （14） （15） （16） （17） ， 由第（8）题的结果，，所以 (18) = (19) (20) 解：于是 3．计算下列极限： （1） （2） 解：，是有界量， （3） （4）； （5）； （6） （7） 解：因为当n 2时，有， 由夹逼定理知此题结果为0； 或解：记 显然an 0, 又an+1=an(*)，当n 2时，an+1an ， 数列单调递减下有界，故存在极限，记为A。对(*)式两边取极限，得A=2A/3, 解得A=0。 （8） 解：设，由， 得 ， ∴ ；又，而，所以由夹逼定理知此题结果为0. 5. 确定下列无穷小量的阶： （1）当 两个无穷小相加，忽略高阶的无穷小，故此题答案为1/2 （1）当 忽略常数1，此无穷小量的阶显然为1 （1）当，∵，，答案为2 （1）当 两个无穷小相加，忽略高阶的无穷小，故此题答案为1/2。 6. 计算下列极限： （1） .（这里用到） （2） =－1. （3） （4） 解：令u=，再利用等价无穷小代换，即得结果为1. （