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第四章 课堂演示实验_曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 二、曲线拟合的最小二乘法 由已知的离散数据点及和权函数(通常取),选择与实验点(已知离散数据点)平方误差最小的曲线 称为曲线拟合的最小二乘法。 若记 则中的参数向量由下列方程组(称为法方程)决定 其中 。 此时平方误差为： 特别地, 若,则法方程为 三、用正交函数作最小二乘拟合算法简介 如果是关于点集{xi}带权w(xi))的正交函数族，即 由此,最小二乘法的法方程解为: 且平方误差为: ,不用解方程组,只须用递推公式,并且当循环次数增加一次时,只要把循环增加一次，其余不变.这是目前用多项式作曲线拟合的最好算法,Matlab通用算法程序实现如下： function [p,v]=zj_polyfit(X,Y,N) %用正交函数做最小二乘拟合 % [p, v]= (X,Y,N) % p:输出多项式系数 % v:均方误差 % X:拟合变量 % Y:拟合函数值 % N:多项式次数 if size(X)~=size(Y) error(变量不匹配); end format long g p=zeros(1,N+1); p0=p; p1=p; M=p; a=0;b=0; c=0; d=0;v=0; r=size(X); q=r; p0=[zeros(1,N) 1]; q=polyval(p0,X); a=q*q; p1=[p0(2:N+1) 0]-(X*ones(size(X))/a).*p0; r=polyval(p1,X); d=r*Y; b=r*r; p=((Y*q)/a).*p0+(d/b).*p1; if N=2 for i=2:N c=r.^2*X; M=[p1(2:N+1) 0]-(c/b).*p1-(b/a).*p0; p0=p1; p1=M; r=polyval(p1,X); a=b; b=r*r; d=r*Y; p=p+(d/b).*p1; end end if nargout1 %按要求输出误差 v=sqrt(((Y-polyval(p,X)).^2)*ones(size(X))); end 例1用最小二乘法求一个形如y=a+bx^2的经验公式,使他与下列数据相拟合,并求均方误差。 例2用最小二乘法求一多项式,使他与下列数据相拟合 四、Matlab中的曲线拟合函数的应用 面对一组数据 用线性最小二乘法作曲线拟合时，如果选取一组函数为，则拟合曲线为多项式 . 一般m = 2,3, 不宜过高. 对于指数曲线，拟合前需作变量代换，化为系数参数的线性函数. 2. 用MATLAB作线性最小二乘拟合的多项式拟合 用MATLAB作线性最小二乘拟合的多项式拟合有现成程序. 调用格式为: a=polyfit(x,y,m) 其中输入参数 x,y为要拟合的数据,是长度自定义的数组,m为拟合多项式的次数,输出参数a为拟合多项式: 的系数向量.(注意:按降幂排列) 3. 多项式在x处的值y的计算: y=polyval(a,x) 4．实例分析 例1 给出一组数据点列入下表中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线. xi -2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6 yi 53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88 解（1）首先根据给出的数据点，用下列MATLAB程序画出散点图. 在MATLAB工作窗口输入程序 x=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6]; y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88]; plot(x,y,r*), legend(数据点(xi,yi)) xlabel(x), ylabel(y), title(例7.4.1的数据点(xi,yi)的散点图) 运行后屏幕显示数据的散点图，见图3. （2）因为数据的散点图3的变化趋势与二次多项式很接近，所以选取一组函数，令,其中是待定系数. （3）用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MATLAB程序求待定系数 .输入程序 a=polyfit(x,y,2) 运行后输出按拟合多项式的系数 a = 2.8302 -7.3721 9.1382 故拟合多项式为 . （4）编写下面的MATLAB程序估计其