江苏南京湖滨高级中学2012届高三第四次模拟考试.docVIP

高淳县湖滨高级中学2012届高三年级第四次模拟考试 数学试卷1 (满分160分,时间120分钟) 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则 ▲ . 2. 若复数的实部为，模为，则复数的虚部是 ▲ . 3. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ . 4. 已知，则 ▲ . 5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ▲ . 6. 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 ▲ . 7. 设向量，，若与垂直，则实数的值为 ▲ . 8. 已知点，若直线在轴与轴上的截距相等，则实数= ▲ . 9. 已知数列的前项和，第项满足，则 ▲ . 10. 已知为正实数，满足，则的最小值为 ▲ . 11. 已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲ . 12. 已知的周长为16，面积为6，且，则 ▲ ． 13. 在平面直角坐标系中，以椭圆上的一点为圆心的圆与轴相切于椭圆的一个焦点，与轴相交于两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ . 14. 设函数对于任意，都有成立，则实数= ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分） 已知且． （1）求的值； （2）证明：． 16．（本题满分14分） 如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面交于， 平面，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 17．（本题满分15分） 请你设计一个纸盒．如图所示，ABCDEF是边长为30cm的正六边形硬纸片，切去阴影 部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒．G、H分别在AB、AF上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AGAHx(cm)． （1）若要求纸盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ （2）若要求纸盒的的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？ 并求此时纸盒的高与底面边长的比． 18．（本题满分15分） 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右顶点为，直线过原点，且点在x轴上方，直线与分别交直线：于点、. （1）若点，求△ABC的面积； （2）若点为动点，设直线与的斜率分别为、. ①试探究：是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； ②求△AEF的面积的最小值. 19．（本题满分16分） 设,,其中()为常数． 数列{an}的首项，前n项和为． 对于任意的正整数n，都成立． （1）若，求证：数列{an}是等比数列； （2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列． 20．（本题满分16分） 已知函数，其中为常数． （1）求证：函数的图象必过定点； （2）若在上为单调减函数，求实数的取值范围； （3）是否存在正整数，使得的解集恰好为？ 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第2巻（附加题 共40分） 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4－1：几何证明选讲 如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O 于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC 上．求证：PE是⊙O的切线． B．选修4-2：矩阵与变换 在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到 曲线F，求F的方程. C．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，A为曲线上的动点， B为直线上的动点，求AB的最小值。 D．选修4－5：不等式选讲 设x，y，z为正数，证明：． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有 5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且． （1）求文娱队的队员人数； （2）写出的概率分布列并计算． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点的坐标为． （1）求抛物线的标准方程； （2）设是抛物线的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为， 直线,与抛物线的交点分别为点，求证：动直线恒过一个定点．