1.3-映射.ppt

* 上述定理的证明方法，就是著名的“康托尔对角线法”，该方法在可计算理论中有广泛的应用。 * * * 总之：只要能一个个的排下去，并且包含了所有元素，即是可数的； * 当n=1时，显然成立，n=2时，也成立。 假设n=k时， 结论成立，即A1? A2? … ?Ak是可数集合。 当n=k+1时，有（A1? A2? … ?Ak） ? Ak+1={((a1,a2,…ak),ak+1)|ai ?A i,for i=1,2,…,k+1}，由假设知A1? A2? … ?Ak是可数集合， 而Ak+1也是可数集合，所以（A1? A2? … ?Ak） ? Ak+1是可数集合。 A1? A2? … ?Ak ? Ak+1 ={(a1,a2,…ak,ak+1)|ai ?A i,for i=1,2,…,k+1}，显然可以与（A1? A2? … ?Ak）? Ak+1建立1-1映射。因此A1? A2? … ?Ak ? Ak+1也是可数集合。 故A1? A2? … ?An是可数集合。 * 我们已经看到了很多可数集合，都可以和自然数集合建立1-1映射，那么存在不能和自然数集合建立1-1映射的集合吗？也就是不可数集合吗？存在，下面我们看一个定理。 不可数集合的基数也不是一样的，有大有小。 * 定理1.3.2 可数集合的子集仍为可数集合。其逆否命题：若某集合的一个子集是不可数集合，则该集合也是不可数集合。 根据假设，（2）式这个序列与自然数集合可以建立一一映射。 * 如果把这个rk也排进（2）式中，那么不就是双射了吗？ 答：我可以变r的定义，一定可以找到不是（2）中的数，怎么都能找到。 * 如何证明(a,+?)？ * 实数集合R的基数记为c。 * * * 对于有限集合，显然，|A||2A|； 对于无穷集合，由定义1.3.7，有|A|=|2A|。这个定理要说明不等于，只是小于。 关于B这个集合：B是A的子集，因为有x属于A。这个集合一定是存在的。见doc文档中的图。 * 有了这个结论，我们就可以构造基数任意大的集合。如|R|?|2R|?||? … 。 * 到阿列夫0为止，是可数集合，之后都是不可数。已知一个c，但不知道和其他阿列夫的大小关系。 现在已经证明：证明连续统假设成立是不可能的；证明它不成立也是不可能的。因此，所谓“连续统问题”在现在的数学理论框架中是不能判定的。 * 错的：1，4，5，7，10，11 * * * * * 如A={1,2,3}, R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)}, 满足对称性和传递性, 按照题设，应该是等价关系，但是显然(3,3)不属于R，不是等价关系。因为不存在3R2，推不出3R3. * * 5种性质都不具备； 是否存在具备5种特殊性质的关系？空集上的空关系、相等关系、全域关系。 * * (1) {(2,2),(2,6),(2,12),(3,3),(3,6),(3,12),(6,6),(6,12),(12,12)} (2) {(2,2),(x,x),(x,A),(A,A),(?, ?)} * 黑板上画出哈塞图如下。 1是极小元；4,5,6是极大元； 2,3,4是极小元；1,2是极大元； * * 1) ?(0)无定义； 2) 对a0，?(a)无定义； 3) 对a的每个值都指派了两个值， ?(a)不符合映射定义； * 可以把这种得分看作是学生集合和成绩集合之间的一种特殊关系。 * 解释：1. A的所有元素必须都有映像；但B中不要求每个元素都有原像； 2. 可以A中的多个元素对应b中的一个元素(多对一)；不许A中的一个元素对应b中的多个元素(一对多)； 3. 映射是关系，b=?(a)是(a,b)属于?的另一种表示方法。 * 解释：1.B中元素是A中元素的映像，A中元素是原象，A是定义域，B中的a、b、d构成值域(不是B是值域)。 2.可以多对一，不许一对多。 3.B中可以有空的元素。 * * 从A到B的不同关系有2|A×B|个； 从A到B的不同映射仅有|B||A|个(A中每个元素可以有|B|个选择，共需要|A|组)。 * * B是满的，没有空的。但可能多对一。 * 没有多对一的情况。 * 一个对一个，不能有多对一的。B可能有空的。 * 双射：既是满射，又是单射。 * * (1)B中的元素都有原象，是满射；1和4的映象都是a，不是单射； (2)d没有原象，不是满射；不同的元素对应不同的象，是单射； (3)B中的元素都有原象，是满射；不同的元素对应不同的象，是单射；又A=B，是变换。 * * * * 注意作乘积时的顺序，先是里面的?，然后是外面的?。 * 显然，映射的乘积不满足交换律。 * * * 对于有限集合的元素数可以数一数，但无穷集合呢？用基数表示。 * 总结：表面上个数完全不相等的两个无限集合之间仍然存在