高一数学对数函数苏教版知识精讲.docVIP

高一数学对数函数苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 对数函数 【教学目标】 1. 理解对数的概念及其运算性质，会熟练地进行指数式与对数式的互化，能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数、对数式的化简与计算；了解对数恒等式，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数，会用换底公式进行一些简单的化简与证明。 2. 通过具体的实例，直观了解对数函数的模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。 3. 知道指数函数与对数函数互为反函数；能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小；能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等。 4. 感受化归与转化、数形结合的思想。 【教学过程】 （一）对数的概念 庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？取多少次，还有0.125尺？ （2）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质的剩留量是原来的84%，试问经过多少年，这种物质的剩留量是原来的一半？ 抽象出：（1）， （2） 1. 定义：一般地，如果的b次幂等于N，就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数（base of logarithm），N叫做真数（proper number）。 说明：（1）与等价 （2）a，N，b的取值范围各是：①且；②N＞0；③ 2. 几个常用的对数等式： 3. 常用对数与自然对数： 常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便，N的常用对数简记作。 例如：简记作；简记作。 自然对数：在科学技术中常常使用以无理数2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作。 例如：简记作；简记作。 （二）对数的运算法则 1. 运算法则的内容： （三）换底公式 说明：换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则。 如换底公式可以解决如下问题： （1） （2） （四）对数函数 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数是分裂次数的函数，这个函数可以用指数函数表示。 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数就是要得到的细胞个数的函数。根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是，把y看作自变量，x就是y的函数，这样就得到一个新函数。 1. 定义：函数叫做对数函数；它的定义域是。 2. 对数函数的图象与性质 （1）与 （2）与 由图发现与的图象有什么关系？ 反函数：函数称为的反函数。反之也称为的反函数。 一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数记作。 相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是，且当。 不同性质：的图象是上升的曲线，的图象是下降的曲线，这说明前者在上是增函数，后者在上是减函数。 3. 对数函数的图象与性质： a1 0a1 图 象 定义域：（0，+∞） 性 值域：R 质 过点（1，0），即当时， 时， 时， 时， 时， 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 【典型例题】 例1. 计算： （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如（3）题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系。（2）题要避免错用对数运算性质。 例2. 求的值。 解： 例3. 求下列函数的定义域。 （1） （2） （3） 分析：此题主要利用对数的定义域（）求解。 解：（1）由，得，所以函数的定义域是 （2）由，得，所以函数的定义域是 （3）由，得，所以函数的定义域是 例4. 比较下列各组数中两个值的大小： （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 解：（1）考察函数 所以它在上是单调增函数 又因为，∴ （2）考察函数 所以它在上是单调减函数 又因为，所以 （3）当时，在上是增函数 于是 当时，在上