高一数学判别式法求函数值域之错误面面观.docVIP

判别式法求函数值域之错误面面观 判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数的值域问题。判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x的方程应有实数解，从而求出y的取值范围。判别式法虽然用起来很方便，但如果不加注意，却很容易产生错误，下面就同学们容易出错的地方举例加以说明。 一、忽视对方程的二次项系数是否为零加以讨论致错 例1 求函数y=的值域。 错解： y=, yx2+yx+6y=x2+x-1， (y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，① 因为方程①是关于x的二次方程，它有实根的充要条件是 =(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0， 即(y-1)(23y+5) 0, 解得，。 ∴原函数的值域为{y| }. 剖析：事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x的二次方程了，就不能再用判别式了。 正解： y=, (y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，① 当y-1=0，即y=1时，方程①为7=0，不成立，故y≠1； 当y-10，即y1时，=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0， 即(y-1)(23y+5) 0，解得， 综上，得原函数的值域为{y| }. 例2．求函数的值域。 错解：原式变形为，① ∵，∴，解得。 故所求函数的值域是。 剖析：把代入方程①显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程①的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。 正解：原式变形为，① （1）当时，方程①无解； （2）当时，∵，∴，解得。 综合（1）、（2）知此函数的值域为。 二、分子分母有公因式，没有转化而盲目乱用判别式法而致错 例3 求函数y=的值域。 错解： y= (x1)，① yx2-y=x2+x-2，(y-1)x2-x-y+2=0，② 当y-1=0，即y=1时，由②得x=1（舍去），y1； 当y-10，即y1时，=1-4(y-1)(-y+2)0，即(2y-3)20。yR。 综上可得，原函数的值域为{y| y1且yR}。 剖析：事实上，当y=，即=时，解得x=1，而当x=1时，原函数没有意义，故y。产生错误的原因在于，当x=1时，(y-1)x2-x-y+2的值等于零，所以x=1是方程②的根，但这个根不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数y=不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。 正解：原函数可化为y==（x≠1且x≠－1），即y=1+（x≠1且x≠－1）， ≠0，∴y≠1，又x≠1，∴y≠. ∴原函数的值域为{y| y1且y }. 例4 求函数的值域。 错解：将函数式化为， （1）当时，代入上式得，∴，故属于值域； （2）当时， ， 综合（1）、（2）可得函数的值域为。 剖析：解中函数式化为方程时，产生了增根（与虽不在原函数的定义域内，但却是转化的方程的根），因此最后应该去掉与时方程中相应的值。 正解：（x≠2且x≠－3），即y＝1＋（x≠2且x≠－3）。≠0，∴y≠1，又x≠－3，∴y≠. 所以正确答案为，且。 综上所述，在用判别式法求函数的值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，一是二次项前的系数必须不等于零，二是函数的定义域必须是R。并注意检验区间端点是否符合要求。只有知道这种方法的适用范围，以及应该注意哪些常见错误、有哪些局限性，才能避免盲目套用，也会在出现错误时及时加以纠正，只有这样，才算是真正掌握这种方法。 电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号电话07342518006；QQ：406426941 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 湖南衡阳市三中 肖南421008 定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。 一、已知定义域求值域 例1 求定义域在［-1，1］上的函数的值域。 解：函数式变形为，显然y≠-1 由原函数表达式可得。 又，得， 解得， 即此函数的值域为。 注：此法是把函数式视为关于x的方程，解出x，再运用已知的定义域，解关于y的不等式求得值域。 二、已知值域求定义域 例2 已知函数的值域是，求此函数的定义域。 解：由，解得。 由，解得。 此函数的定义域为。 注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。 三、已知定义域求解参数问题 例3 已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题意知时