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函数与极限 思考题 1. 求 解： * * 第七节 无穷小的比较 【例1】当 x→0 时， 都是无穷小，观察上述三个函数趋于零的速度： x→0 0.1 0.1 0.2 0.01 0.01 0.01 0.02 0.0001 0.001 0.001 0.002 0.000001 0.0001 0.0001 0.0002 0… … … … 趋于零的速度最快， ， 速度差不多. 【例2】 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 定义 设 是同一过程中的两个无穷小，且 （1）如果 ，那么就说 是比 高阶的无穷小，记作 （2）如果 ，那么就说 是比 低阶的无穷小; （3）如果 ，那么就说 与 同阶无穷小; （4）如果 ，那么就说 是关于 的 k阶无穷小; （5）如果 ，那么就说 与 是等价无穷小，记作 【例3】 的高低. 同阶 高阶 二阶无穷小 等价无穷小 （5） 故 （6） 则 故 令 等价无穷小 等价无穷小 【例4】证明：当 时， . 证 因为 所以 【例4】证明：当 时， . 证 只要证 即可. 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是 称α 是β 的主要部分. 【例5】因为当 时， 所以当 时有 证 必要性. 设 ，则 说明 是比 的高阶无穷小，即 因此 可以表示成 充分性. 如果 ，则 说明 . 定理2 (等价无穷小代换定理) 证 此定理还可以仅代换分子或分母： 常用等价无穷小: u可以是变量，也可以是函数. 这个定理告诉我们，在求两个无穷小之比的极限时，可将分子、分母同时（或分别）用与它等价的无穷小来代换. 【例6】证明 两端取对数，得 又当x→0，t→0. 所以 证 因为 ，所以 令 所以 【例7】求下列极限 解 （1）当 x→0 时， （2）当 x→0 时， （3）当 x→0 时， 【例8】 解 解 错 作业 习题 1-7 P.55 3. 4. 5 【例10】 解 【例13】 解 【例14】 【例5】证明 证 令 ，当x→0，t→0. 所以， 【例5】证明 证 令 当x→0，t→0. 所以， 【例7 】 解 第一步，判断类型： 型 第二步，套用第二个重要极限 第三步，变形求解 解 因为当x→0 【例7 】求 解 【例7 】求 原式 三、小结 1.无穷小的阶的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2. 等价无穷小替换：①~⑤ 求极限的重要方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 同阶无穷小. * * 填空题： 1、=__________. 2、=________. 3、=_________. 4、=________. 5、=________. 6、=_________. 7、当时， 对于是_______阶无穷小 . 8、当时，无穷小与等价，则 二、求下列各极限： 1、； 2、； 3、； 4、； 证明：若是无穷小，则. 四、设f(x)= 求：1、的表达式 . 2、确定的值,使得， . 一、1、； 2、；3、2； 4、； 5、； 6、； 7、3； 8、, 2. 二、1、； 2、； 3、； 4、. 四、1、 ； 2、.