第三章,静态场及其边值问题的解简析.ppt

* 图2 两平行圆柱导体的电轴 通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。 由 利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。 思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？ * 3.5.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 图1 点电荷与电介质分界平面 特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。 图2 介质1的镜像电荷 问题：如图 1 所示，介电常数分别为 和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q，距分界平面为h 。 分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图2所示。 * 介质1中的电位为 计算电介质 2 中的电位时，用位于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 3 所示。介质2中的电位为 图3 介质2的镜像电荷 * 可得到 说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为 利用电位满足的边界条件 * 图1 线电流与磁介质分界平面 图2 磁介质1的镜像线电流 特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。 问题：如图1所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为h。 分析方法：在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图2所示。 3.5.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 * 因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为 图3 磁介质2的镜像线电流 在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图3所示。 * 相应的磁场可由 求得。 可得到 故 利用矢量磁位满足的边界条件 总结： 镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电荷应放在所研究的场区之外。 镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。不过很多时候是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大小。 既然用镜像电荷代替了感应电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面（或介质面）不存在了，把整个空间看成是无界的均匀空间。所求区域的电位等于给定电荷所产生的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。  * * 3.6 分离变量法 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。 　分离变量法是求解边值问题的一种经典方法　 　分离变量法的理论依据是惟一性定理 　分离变量法解题的基本思路： * 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为 3.6.1 直角坐标系中的分离变量法 将? (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即 将其代入拉普拉斯方程，得 再除以X(x) Y(y) ，有 分离常数 * 若取λ＝－k2 ，则有 当 当 * 将所有可能的 ? (x,y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取λ＝k2 ，同理可得到 通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。 * 例3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。 解：位函数满足的方程和边界条件为 因 ? (0,y)＝0、 ? (a,y)＝0，故位函数的通解应取为 * 确定待定系数 * 将U0 在（0，a）上按 展开为傅立叶级数，即 其中 * 由 故得到 * 3.6.2 圆柱坐标系中的分离变量法 令其解为 代入方程，可得到 由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程 在圆柱坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为 通常? (ρ, ? )随变量? 的变化是以 2? 为周期的周期函数。因