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傅里叶级数Fourier Series 法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 1 来源 法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 给定一个周期为的函数，那么它可以表示为无穷级数： （1） 其中，为虚数单位 可以按下式计算： （2） 注意到是周期为的函数，故取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等。 收敛性 傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内， 须绝对可积； 在任一有限区间中，只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和，那么在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。 一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： 奇偶性 奇函数；可以表示为正弦级数，而偶函数；则可以表示成余弦级数： 只要注意到欧拉公式：，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。 任何正交函数系，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程： （4） 那么级数 （5） 必然收敛于f(x），其中： （6） 事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： 成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基，向量x在上的投影总为。