中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题.docVIP

另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A坐标为 x1,y1 ，点B坐标为 x2,y2 ，则线段AB的中点坐标为 , . 证明 ： 如图1，设AB中点P的坐标为 xP,yP .由xP-x1 x2-xP，得xP ，同理yP ，所以线段AB的中点坐标为 , . 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD的顶点坐标分别为A xA,yA 、B xB,yB 、C xC,yC 、D xD,yD ，则：xA+xC xB+xD；yA+yC yB+yD. 证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点， ∴E点坐标为 , . 又∵点E为BD的中点， ∴E点坐标为 , . ∴xA+xC xB+xD；yA+yC yB+yD. 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C． 3 两类存在性问题解题策略例析与反思 3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题 例1 已知抛物线y x2-2x+a a＜0y轴相交于点A，顶点为M.直线y x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N. 1 填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M , N ； 2 如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积； 3 在抛物线y x2-2x+a a＜0P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由. 解： 1 M 1,a-1 ，N ,- ； 2 a -；S四边形ADCN ； 3 由已知条件易得A 0,a 、C 0,-a 、N ,- .设P m,m2-2m+a . ①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得： ,∴. ∴P1 ,- ； ②当以AN为对角线时，得: ,∴ 不合题意，舍去 . ③当以CN为对角线时，得: ,∴. ∴P2 -, . ∴在抛物线上存在点P1 ,- 和P2 -, ，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形. 反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论. 3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题 例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,-1 三点. （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为 顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标. 解 ：（1）易求抛物线的表达式为y ； 2 由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为 0,t ；点P在抛物线上， 设点P坐标为 m, . 尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了． ①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0 3+m， ∴m -4，∴P1 -4,7 ； ②当以BQ为对角线时，得：-1+m 3+0，∴m 4，∴P2 4, ； ③当以AB为对角线时，得：-1+3 m+0，∴m 2，∴P3 2,-1 . 综上，满足条件的点P为P1 -4,7 、P2 4, 、P3 2,-1 . 反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定