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第七章多元函数的微分及其应用 在第一至第六章中，我们讨论了一元函数的性质、极限、连续性、导数、微分、不定积分、定积分以及微积分在几何、物理等领域的某些应用.那里遇到的函数都只有一个自变量，但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系.由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题.本章将首先介绍多元函数的基本概念、极限、连续等，并在一元函数微分学的基础上，进一步讨论多元函数的微分学，包括多元函数的偏导数、全微分、复合函数和隐函数的求导方法，方向导数、梯度等.进而探讨多元函数微分学的一些应用，例如在研究几何图形和求极值方面的应用等等.在讨论中我们将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的几何解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数. §7.0预备知识 一、平面点集 1．平面及其表示 由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x，y)之间就建立了一一对应于是，我们常把有序实数组(x，y)与平面上的点P视作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 二元有序实数组(x，y)的全体，即R2(R(R({(x，y)|x，y(R}就表示坐标平面. 2.平面点集 定义1坐标平面上具有某种性质P的所有点的集合，称为平面点集，记作 E({(x，y)|(x，y)具有性质P}. 例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C({(x，y)|x2(y2(r2}. 如果点P的坐标为(x，y)，以|OP|表示点P到原点O的距离，那么集合C也可表成C({P||OP|(r}( 3.邻域 定义2（1）设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，(是某一正数.与点P0(x0，y0)距离小于(的点P(x，y)的全体，称为点P0的(邻域，记为U(P0，()即 或( （2）点P0的去心(邻域记作，其定义为 注（1）邻域具有直观的几何意义，即U(P0，()表示xOy平面上以点P0(x0，y0)为中心、(0为半径的圆的内部的点P(x，y)的全体；与U(P0，()的区别在于前者包含圆心，而后者包含圆心 （2）：如果不需要强调邻域的半径(，则用U(P0)表示点P0的某个邻域，点P0的去心邻域记作( 4.内点、外点、边界点 为描述点与点集之间的关系，我们给出如下定义 定义3任取一点P(R2，任给一个点集E(R2，则 (1)如果存在点P的某一邻域U(P)，使得U(P)(E，则称P为E的内点 (2)如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)(E(((则称P为E的外点( (3)如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P为E的边界点. E的边界点的全体(称为E的边界(记作(E( 注意，任给一点和一个集合，它们之间必有以上三种关系中的一种. E的内点必属于E( E的外点必定不属于E( 而E的边界点可能属于E( 也可能不属于E. 5.聚点、导集 定义4如果对于任意给定的((0( 点P的去心邻域内总有E中的点( 则称P是E的聚点. 由聚点的定义可知( 点集E的聚点P可以属于E( 也可能不属于E. 例如(设有平面点集E({(x(y)|1(x2(y2(2}( 则，满足1(x2(y2(2的一切点(x(y)都是E的内点( 满足x2(y2(1的一切点(x(y)都是E的边界点( 它们都不属于E( 满足x2(y2(2的一切点(x(y)也是E的边界点( 它们都属于E( 点集E以及它的界边(E上的一切点都是E的聚点. E的全体聚点所构成的集称为E的导集，记为Ed. 6．开集、闭集、连通集 平面上不同的点集有不同的特征，为此我们可引入如下定义. 开集( 如果点集E的点都是内点，则称E为开集. 闭集( 如果点集的余集Ec为开集( 则称E为闭集. 例如，E({(x，y)|1x2(y22}是开集；E({(x，y)|1(x2(y2(2}是闭集；而集合{(x，y)|1(x2(y2(2}既不是开集( 也不是闭集. 连通集( 如果点集E内任何两点( 都可用完全包含于E内的折线连结起来(则称E为连通集. 7.开区域、闭区域 为下节讨论多元函数时的方便，我们引入区域的概念. 开区域( 连通的开集称为开区域，简称区域. 闭区域( 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E({(x，y)|1x2(y22}是区域；而E({(x，y)|1(x2(y2(2}是闭区域. 8.有界集、无界集 有界集(对于平面点集E(如果存在某一正数r，使得E(U(O(r)(其中O是坐标原点(则称E为有界点集. 无界集(一个集合如果不是有界集( 就称这集合为无界集. 例如(集合{(x，y)|1≤x2(y2≤2}是有界闭区