5-6定积分在几何上的应用总结.ppt

二、旋转体的体积 *    第六节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、旋转体的体积 四、小 结 1.直角坐标系情形 2.极坐标系情形 三、平行截面面积为已知的立体的体积 2013-12-31 周二 (2）极坐标和直角坐标互化 把直角坐标中的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴。与直角坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系。 2.极坐标系情形 面积元素 曲边扇形的面积 (3) 极坐标系中平面图形的面积 小圆扇形的面积近似替代小曲边扇形面积 解： 于是所求面积为： 面积元素 P375第10种 P373—附录II.几种常见的曲线(18种) 解： 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 P375第14种 解: 利用对称性知 a 2a a P375第9种 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 x y o 小圆柱体的体积近似替代小旋转体的体积， 得到体积元素。 小圆柱体的体积为： 旋转体的体积为： 解: 直线 方程为 旋转体的体积为： 例11.计算由椭圆 所围成的图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积. y x o b a 解： 例12.计算由椭圆 所围成的图形绕 x轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积. y x o b a 解： 三、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积： 体积元素 解： 取坐标系如图,底圆方程为 截面面积： 立体体积： 解： 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 h 立体体积为： 1、求在直角坐标系下、参数方程形式下、 极坐标系下平面图形的面积. （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算） 2、旋转体的体积 绕 轴旋转一周 dx 绕 轴旋转一周 dy 3、平行截面面积为已知的立体的体积. 四、小 结 * * * *