柯西中值定理在中学中的应用和扩展.docxVIP

中值定理在中学数学教学的应用 摘要：通过对柯西中值定理进行讨论，明确了中学教学引入柯西中值定理的意义。分别讨论了柯西中值定理在中学教学中关于函数单调性、不等式和等式证明方面的应用。提出柯西中值定理在不等式和等式证明方面相较于纯粹的求导的方法具有快捷、计算简单的优势。最后，对中值定理在中学教学的扩展进行了讨论。 关键词：柯西中值定理；中学教学 前言 随着当今社会科学技术的不断发展，定量思维正逐渐影响着公众的生活。随之而来的是对各个学科教学发展的要求。将微积分这一思想引入中学的教学是提高中学教学水平的一种体现。相较于基础教学，微积分具有鲜明的几何意义，目前在中学数学、物理等学科的教学中已经由辅助角色抬升到处理解决问题的有效工具。但是，由于引入了新的概念，在具体应用，尤其是教学的方式方法上与以往的教学差别很大，给教学工作带来了一定的困难。柯西中值定理作为微分中值定理中重要的一个定理，在中学微积分的教学中占有重要比例。但是，目前对柯西中值定理在中学教学的讨论和分析较少。因此，有必要对可惜中值定理在中学教学中的应用和扩展进行讨论。 一柯西中值定理 柯西中值定理与罗尔定理、拉格朗日中值定理并称为微分方程三个基本定理。柯西中值定理的具体表述概念为：假设两个函数分别为f（x）和g（x）。这两个函数f（x）和g（x）分别满足三个条件：第一个是条件是f（x）和g（x）在闭区间[a,b]上函数是连续的，第二个条件是是f（x）和g（x）在开区间（a,b）内函数是可导的，第三个条件是当x∈开区间（a,b）时，g,(x)不等于0。当三个条件同时满足时，在开区间(a,b)中至少存在一点ξ∈开区间（a,b），能够使得f,（ξ）/ g,（ξ）=（f（a）-f（b））/g（a）-g（b））。具体证明为如果假设g（a）与g（b） g（a）与g（b）不相等。然后假设存在一函数h（x）,且h（x）=f（x）-（f（b）-f（a））/（g（b）-g（a））。根据h（x）得出该函数在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间（a,b）上是可导的且h（a）=h（b）=（f（a）g（b）-f（b）g（a））/（g（b）-g（a））。则根据罗尔定理推出，在开区间（a,b）上，存在一点ξ，使得h,（ξ)，也就是f,ξ=（f（b）-f（a））/（g（b）-g（a））·g,ξ。由以上证明过程可以看出，柯西中值定理就是一个函数相较于另一个函数的变化的问题。倘若g（x）设定为g（x）=x， 二中学教学引入柯西中值定理的意义 恩格斯曾经将微积分学的创立称为“人类精神层面的最高胜利”。将包括柯西中值定理在内的微分中值定理的内容引入到中学数学，不仅为学生在学习和计算上提供了一个有力的工具、扩展了学生学习的领域，还发散了学生思考、考虑问题的方式，有助于学生有效的解决与函数相关的大量问题。而且，将包括柯西中值定理在内的微分中值定理的内容引入到中学数学，可以增强学生数形结合的思想，提高学生解决问题的能力。从近年高考中设计“微积分”的内容不断增加、考察形式不断变化可以看出，微积分相关知识点从辅助解决问题的工具上升到主要解决问题的工具。微积分相关的内容，特别是应用微分中值定理解决函数单调性和机制以及证明不等式等问题越来越受到重视。 三柯西中值定理在中学教学中的应用 由于在中学教学中引入柯西中值定理具有重要意义，在中学的数学教学中已经引入了柯西中值定理。下面首先就柯西中值定理在中学数学这门学科的教学中的应用进行分析和探讨。然后以通过讨论柯西中值定理在不同版本教材中的体现，分析其在中学教学中的应用。 (一)柯西中值定理在数学教学中的应用 包括导数、微积分和定积分在内的基本原理已经纳入了《普通高中数学课程标准》之中，柯西中值定理也自然在课程标准之列。目前的中学数学教学，不论何种版本的教材，均通过强调逼近和以直线代替曲线的思想方法先引入导数的概念，然后再循序渐进的引入罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。目前，柯西中值定理在中学数学中的应用主要体现在利用柯西中值定理证明函数的单调性、利用柯西中值定理证明等式和不等式。下面通过具体的例子介绍柯西中值定理的应用。 例1 证明函数的单调性。如果有f(0)=0,且函数f(x)在开区间(0, +∞)上是单调递增的。证明函数f(x)/x在开区间(0, +∞)上也是单调递增的。 分析:如果一个函数在一定的区间内是单调递增的，则该函数图形切线上的斜率在这一特定区间内均为正值，即该函数的导数在这一特定区间内均为正值。如果一个函数在一定的区间内是单调递减的，则该函数图形切线上的斜率在这一特定区间内均为负值，即该函数的导数在这一特定区间内均为负值。由此，可以利用柯西中值定理和函数的导数来证明。 根据柯西中值定理f（x）/x=（f（x）-f（0））/（x-0）= f,ξ, （0ξx）。而