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§0-6 幂函数指数函数与对数函数 读者知道，相同底数的乘积称为幂。中学数学里，先是用记号 为正整数 表示底数为的幂。它有基本性质： （i）； （ii） 其中和都是正整数。随后，当时，又规定了 为了使上述基本性质对于整数和仍然成立，就规定了 和 （为正整数） 以及当时，规定 这样一来，就把“幂”的概念推广到 正或负 分指数 指数为分数 ，而且上述那两个基本性质对分指数 有理指数 的幂也成立，即 i ； ii 其中和均为有理数。 作为补充，要使记号（次算术根）对于负数也适用，那就只限于正整数为奇数。对于，要假定为既约分数且为奇数。 中学数学里并不严格地去定义无理指数的幂，因为这样会涉及到实数的一般理论。实际上，幂的上述基本性质（ⅰ）与（ⅱ）对无理指数也成立。但读者要记住，对于无理指数的幂，规定 1.幂函数 底数为自变量的函数称为幂函数。它的定义域根据指数才能确定，例如 （为正整数），定义域为； （为正整数），定义域为； ，定义域为； ，定义域为。 一般情形下，都假定幂函数中的。 2.指数函数 幂指数为自变量的函数 且 称为指数函数。它的定义域为 图0-21 。当时,是增函数；当时，是减函数。 根据幂的基本性质，指数函数具有性质： （加法定理） 3.对数函数 因为指数函数是增函数 当时 或减函数 当时 图0-22 ，所以它有反函数，记成，或者把与对调位置后为 称它为对数函数。根据定义，有对数恒等式 和 而根据对数的定义和幂的基本性质，则有下面的结论： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ （换底公式） 4.双曲函数 在应用数学的一些书刊杂志中，读者会遇到所谓双曲函数： （双曲正弦）； （双曲余弦）； （双曲正切）， （双曲余切）。 根据定义，则有（注意与三角函数的异同） ， 若令，则可以用等轴双曲线的右半支来解释双曲函数，就像用单位圆解释简单三角函数一样。“双曲正弦”、“双曲余弦”等这些名称当初就来源于此。 习题选解 1.设。证明： ⑴； ⑵； ⑶（和为正整数）。 证 ⑴； ⑵； ⑶。 2.证明：与都是奇函数。 证 3.下列每对函数中，哪些表示同一个函数？ a 与； b 与； c 与； d 与； e 与。 答案： b c e 。 【注】 a d 都是因为定义域不同。注意两个对数恒等式 与 之间的不同处！ 4.求下列函数的定义域： ⑴ 解 因为，所以，即。 ⑵（称为“幂指函数”，定义域为）。 ⑶ 解 因为对数的真数是正数，所以，即 解不等式，得，即定义域为： 或写成。 5.已知，求。 解 令，则。于是，,即 6.设。证明：当足够小时，有 证 7.证明：函数的反函数是。 【注】函数是增函数（见图）， 所以它有反函数。 证 因为 则最后的等式是以为未知数的二次方程，解得 [注意取正根，因为] 在两端取对数，就得，即 反函数为。 30 第0章 准备知识 中学数学基础知识 29 §0-6 幂函数*指数函数与对数函数 y x O 图0-21 图0-22 O x y 第7题图 O x y