指数函数的积分与安掊力作用下导体棒的运动.docVIP

指数函数的积分与安掊力作用下导体棒的运动 [摘要]：指数函数在数学和自然科学中占有重要的位置，它的不定积分以及导数都是它自身。这正是它与其他函数间的巨大差别。本文通过研究其定积分的特点，说明在安掊力作用下导体棒速度减半时，运动的位移也恰为整个位移的一半。 [关键词]：指数函数，安掊力，定积分，位移，速度 [正文] 1 闭区位上的指数函数的定积分 设，它的定义域为R，下面我们求在闭区间[a,b]上的定积分。 2 用函数值表示积分限 当函数的函数值从a增加为b时，它的自变量从lna增加到lnb。我们求函数值从a增加到b的积分，相当于求区间[lna,lnb]上的定积分。 3 积分下限趋于负无穷的情况 4 两个定积分的关系 在区间和上的定积分的比为a:b。 证明：由“3”的结论可知： 推论1：在区间上的定积分为1。 证明： 推论2： 5 推论2的几何意义 图中用不同的斜线表示出的两部分的面积相等。 当函数值从0增加到1时，积分是1；增加到2时，积分增加了1（变成了2）。我们可以得到这样的启发，当函数值加倍时，定积分也加倍。 由可以直接验证上面的猜测。 6 导体棒在安培力作用下的运动 设初速度为，导体棒的长度为l，质量为m，磁感应强度为B，回路的电阻保持R不变。试讨论导体棒的速度减半时发生的位移与总位移的关系。 由电磁感应定律有： 由闭合电路欧姆定律有： 由安培力的公式有： 由牛顿第二定律有： 上面的几个方程式联立可得 分离变量有： 得： 将t 0时，代入得 因而得到导体棒的运动方程为 可见是一个指数函数，根据上面对指数函数的研究可知，当速度减半时，棒走过的路程恰为全部路程的一半。 2012-1-5晚整理 3 x y O 2 1 ln2