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* 粘性流体力学 唐晓寅制作 2006-10-25 第*页 第三章 微分形式的基本方程 本章主要内容有： 1. 微分方程的基本形式。 2. 本构方程。 3. N-S方程。 N-S方程的讨论。 基本方程的通用形式。 简单应用例子。 3．1 基本方程 3．1．1 连续性方程 由（2-32）式，积分处处为零，故被积函数应为零，即 或 （3-1） （3-2） 若为不可压缩流体，ρ constant , 此时有 （3-3） 若为恒定可压，则有 （3-4） 3．1．2 动量方程 因为 3-5 将上式代入（2-16）式可得 3-6 故有动量方程 3-7 式中，P 为应力张量， 为单位质量力。 2．3．1．3 能量方程 因为： 由热力学傅立叶定律 其中，λ 为导热系数，W／ｍ?Κ 。，T 为温度。 将上式代入（2-17）式得 （3-7） 故有： （3-8） （3-2）、（3-6）和（3-8）式即为粘性流体运动的三大方程，它能适用于所有流体的运动。 3．2 Navier-Stokes方程 3．2．1 本构方程 本构方程讨论的是应力张量与应变张量的关系。 将应力张量稍作变形为： （3-9） 其中δ为单位应力张量，D 为偏应力张量。 斯托克斯三假定： Ι） 应力与应变成线性关系——线性假定 П） 应力与应变速率的关系在流体中各向同性 Ш） 在静止流体中，切应力为零，正压力的数值为静压。 由（3-9）： 由假定Ι） 再由假定П） 其中E 为应变速率张量。 将（3-11）代入（3-12）得 对于牛顿流体，由广义牛顿内摩擦定律知，粘性应力与流体的变形率成比例，即 （3-13） （3-11） （3-12） 由假定Ι）得 所以 （3-14） 将上面三式相加得 因为 而令 故有 （3-15） 现定义 （3-16） pm 称为运动流体的平均动压强（流体微团法向应力的算术平均值，负号表示和应力方向相反）。 由假定Ι）、П），取平衡态压强 （3-17） 再利用假定Ш），静止时， 所以：C 0。 令： ——第二粘性系数 将（3-14）、（3-15）、（3-18）分别代入（3-13）即可得到本构方程 （3-19） 其中，应变率张量分量 （3-20） 这样一来，流体力学基本方程（3-2）、（3-6）、（3-8）和（3-20）封闭。 其张量分量形式为 （3-21） 3．2．2 应力与应变张量的进一步讨论 3．2．2．1 Navier-Stokes方程 动量方程（3-6）式中，关于应力张量的散度 ，可 证明 （3-22） （3-22）式也可写成 （3-23） 证明：设ф 是一个标量函数，则 推广有 （a） b 将（a）、 b 代入（3-6）式即可得到（3-23）式。从而（3-6）式的N-S 方程形式为 （3-24） 其中，第二粘性系数一般可取： 。对于不可 压缩流体，有 3．2．2．2 能量方程的另一种形式 对动量方程（2-37）式两边同时点乘 得 （3-25） 或 将能量方程（3-8）式减去上式，并考虑到 （3-27） 式中， 为全部表面力所做的功，由此可得到 （3-28） 其中， 可证明为 ф ——称为耗散函数。 （3-29） （3-30） 证明： 因为 所以 因而得到 将（3-29）代入（3-28）可得到能量方程的另一种形式 （3-31） 或 （3-32） 对于不可压缩流体，有 （3-33） 柱坐标的N—S方程 （3-34） （3-35）