导数在实际生活中的应用详解.pptVIP

2008－17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设 （rad），将表示成的函数； （ii）设 （km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 【解析】本小题主要考查函数最值的应用． 例4，如图，设铁路AB之间距离为50km，C到AB的距离为10km，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2a元，公路费用为4a元，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？ 练习1、把长为100cm的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面积之和最小？ 练习2、同一个圆的内接三角形中，等边三角形面积最大。 练习5、已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50KM，B、C间的距离为100KM，从A到C，先乘船，船速为25KM/h，再乘车，车速为50KM/h，登陆点选在何处所用时间最少？ 小结 作业 * 3.4 导数在实际生活中的应用 泗洪县兴洪中学高二数学组 1、实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”. 3、求最大（最小）值应用题的一般方法 (1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点。 2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。 首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。 4.问题类型 1.几何方面的应用 2.物理方面的应用. 3.经济学方面的应用 (面积和体积等的最值) (利润方面最值) (功和功率等最值) 60 60 解:设箱底边长为x cm， 箱子容积为V=x2 h 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 则箱高 x x V ′=60x－3x2/2 令V ′=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000 答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3 在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ′(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 11年应用题是全卷的焦点 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。 B C D A O P 例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值 时,利润L最大。 分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润. 求得唯一的极值点 因为L只有一个极值点,所以它是最大值. 答:产量为84时,利润L最大. x y 练习1: 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. 解:设B(x,0)(0x2), 则 A