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悬崖跳水的水池深度 摘要 近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。 问题重述 国际高空跳水是近年来刚兴起的体育运动项目，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。高空跳水十分德惊险刺激，跳水员从很高的悬崖上或特制的超高跳台上起跳并完成空中动作后入水。近年来很多人为了寻求惊险刺激使悬崖跳水备受欢迎，但是，与此同时，悬崖跳水危险性较大，容易出现伤亡事故，稍有不慎就会头骨碎裂。为了减少跳水运动员的跳水事故和尽量减少水池建设的成本避免不必要的浪费，因此，水池的深度应满足的条件尤为重要。下落过程中，运动员的身体受到重力和空气阻力作用，是做加速运动的。运动员在水中受到阻力与浮力作用，抵消身体的重力作用，使运动员在水中做减速运动，直到速度减为零。此时运动员下落的深度即为水池的最低深度。 需要完成的任务： 跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算； 分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。 问题分析 悬崖跳水涉及物理力学问题，所以对运动员进行受力分析尤为重要。同时解决水池深度问题还应把运动员的体重、身高、体积等因素考虑进去，因为这些对水池的深度都有影响。同时水池的深度应保证运动员的人身安全和尽量减少水池建设的成本。 为了把运动员的受力更清楚地表示出来，以便下一步的研究，我们把运动员的受力分为三部分。 跳台至水面的过程：运动员从跳台起跳到脚接触水面，排除水平风力对运动员的影响，也就是只考虑运动员所受竖直方向上的力。运动员受到重力和空气浮力等两个力作用，而空气阻力少于重力，所以运动员是做加速运动。但是由于空气阻力随着速度的增加而增大，而重力是不变的，所以，运动员是做加速度减少的加速运动，速度一直增大。 空气至水中的过程：运动员由空气进入水中，当运动员接触水面时，受到重力、空气阻力、水的浮力等三个力作用。这三个力，除了重力，所有的力都在发生变化，易知，在落水的过程中有空气阻力、水的浮力之和等于重力，此时，有一个短暂的受力平衡过程，此时运动员的速度最快，此后运动员做一个减速运动。 水中至水底的过程：运动员身体全部没入水中，受到竖直向下的重力、竖直向上的浮力和水的黏滞力作用。做减速运动，直至速度为零。这三个力，重力与水的浮力是恒定的，水的黏滞力随运动员速度的减少而减少，所以，经受力分析，运动员此时是在做加速度减少的减速运动。 为了保证运动员的人身安全，水池应有足够的深度，避免人体撞击池底而受伤，另外，为了减少水池建设的成本，所以水池的深度应为运动员在水中速度减为零的时候。 模型的假设 假设跳水运动远跳水的状态形似柱形下落，质量分布均匀，其中跳水运动员的高度即圆柱的高度，圆柱的半径由人体的质量和密度可以求得。 假设跳水运动员以身体笔直 假设运动员双手紧贴，脚先着地的方式垂直落水，方向竖直向下，没有做任何的动作。 假设运动员没有受到风的作用力，水平方向受力平衡，不影响运动员的下落。 假设不考虑运动员起跳时的蹬板过程。 假设运动员与水面刚接触时没有能量的损失。 假设男女运动员的身高、质量符合20-25岁的国际运动员的标准。 假设运动员在水中的速度为最小即速度为零，此时水池的深度即安全深度的临界值。 定义与符号说明 符号 意义说明 H 跳台距水面的高度 表示运动员在水中下降的最大深度（水池的高度） L 跳台运动员的高度（圆柱的高度） m 人体的质量 运动员刚接触水的瞬时速度 运动员全身没入水中的速度 流体的密度 r 圆柱体的半径 气体的阻力 重力加速度（=9.8m/s2） 水中受到的浮力 V 人落入水中排出水的体积 人体落入水中的高度 s 圆柱的底面积 模型的建立与求解 问题一： 5.1.1 建模思路 对悬崖跳水运动员跳水三个细分运动过程受力分析： 跳台至水面过程：运动员受到竖直向下的恒定重力与竖直向上的空气阻力影响，空气阻力逐渐增大，运动员做加速度减少的加速运动。 空气运动员由空气进入水中，当运动员接触水面时，受到重力、空气阻力、水的浮力等三个力作用。这三个力，除了重力，所有的力都在发生变化，易知，在落水的过程中有空气阻力、水的浮力之和等于重力，此时，有一个短暂的受力平衡过程，此时运动员的速度最快，此后运动员做一个减速运动 3、运动员身体全部没入水中，受到竖直向下的重力、竖直向上的浮力和水的黏滞力作用。做减速运动，直至速度为零。这三个力，重力与水的浮力是恒定的，水的黏滞力随运动员速度的减少而减少，所以，经受力分析，运动员