61二元函数的极限与连续.docVIP

第6章 多元微分学 教学目的： 1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5．掌握多元复合函数偏导数的求法。 6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。 9．会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1．二元函数的极限与连续性； 2．函数的偏导数和全微分； 3．方向导数与梯度的概念及其计算； 4．多元复合函数偏导数； 5．隐函数的偏导数 6．曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7．多元函数极值和条件极值的求法。 教学难点： 1．二元函数的极限与连续性的概念； 2．全微分形式的不变性； 3．复合函数偏导数的求法； 4．隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 5．拉格郎日乘数法； 6．多元函数的最大值和最小值。 6.1 二元函数的极限与连续 6．1．1 区域 1．平面点集 由平面解析几何知道( 当在平面上引入了一个直角坐标系后( 平面上的点与有序二元实数组之间就建立了一一对应( 于是( 我们常把有序实数组与平面上的点视作是等同的( 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面( 二元的序实数组的全体( 即就表示坐标平面( 坐标平面上具有某种性质的点的集合( 称为平面点集( 记作：。 例如( 平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是 如果我们以点表示，以表示点到原点的距离( 那么集合可表成 . 2．邻域 设是平面上的一个点( (是某一正数( 与点距离小于(的点的全体( 称为点P0的(邻域( 记为( 即 或( 邻域的几何意义：表示平面上以点为中心、( 0为半径的圆的内部的点的全体( 点的去心(邻域( 记作， 即 ：( 注：如果不需要强调邻域的半径(( 则用表示点的某个邻域( 点的去心邻域记作( 3．点与点集之间的关系 任意一点P(R2与任意一个点集E(R2之间必有以下三种关系中的一种( (1)内点：如果存在点P的某一邻域U(P)( 使得U(P)(E( 则称为的内点( (2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P)( 使得U(P)(E((( 则称为的外点( (3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于的点( 也有不属于的点( 则称点为的边界点( 的边界点的全体( 称为的边界( 记作(E( 的内点必属于( 的外点必定不属于( 而的边界点可能属于( 也可能不属于( 聚点：如果对于任意给定的( 点的去心邻域内总有中的点( 则称是的聚点( 由聚点的定义可知( 点集的聚点本身( 可以属于( 也可能不属于。 例如( 设平面点集E({(x( y)|1(x2(y2(2}( 满足1(x2(y2(2的一切点(x( y)都是E的内点( 满足x2(y2(1的一切点(x( y)都是E的边界点( 它们都不属于E( 满足x2(y2(2的一切点(x( y)也是E的边界点( 它们都属于E( 点集E以及它的界边(E上的一切点都是E的聚点( 4．区域 开集( 如果点集E 的点都是内点( 则称E为开集( 闭集( 如果点集的余集E c为开集( 则称E为闭集( 开集的例子( E({(x( y)|1x2(y22}( 闭集的例子( E({(x( y)|1(x2(y2(2}( 集合{(x( y)|1(x2(y2(2}既非开集( 也非闭集( 连通性( 如果点集E内任何两点( 都可用折线连结起来( 且该折线上的点都属于E( 则称E为连通集( 区域(或开区域)( 连通的开集称为区域或开区域( 例如E({(x( y)|1?x2(y2?2}( 闭区域( 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域( 例如E ( {(x( y)|1(x2(y2(2}( 有界集( 对于平面点集E( 如果存在某一正数r( 使得E(U(O( r)( 其中O是坐标原点( 则称E为有界点集( 无界集( 一个集合如果不是有界集( 就称这集合为无界集( 例如( 集合{(x( y)|1(x2(