函数模型类型.docVIP

函数模型的应用题教学研究 常州市新桥中学 潘采方 函数是高中数学的基本脉络，也是历年高考所占比例最大的一部分内容，在近几年高考试卷的直接分值为30-40分左右，在填空题中主要考查了函数的三个要素，四个性质，函数图像的变换(高一知识点)以及导数的几何意义(高二知识点)等方面，在解答题中，有关函数模型的应用题在2009年,2011年和2012年都有所涉及，在压轴题中2008年，2009年考查了函数的基本性质，在2010-2013年考查了利用导数研究函数的性质，并在这些问题考查中突出函数与方程思想、数形结合、等价划归等思想。函数还可以其他几乎所有知识点进行综合出题，函数的难点在于函数广泛的适用性以及函数知识的复杂体系，考生往往很难切中题意并规范解答。结合近几年江苏考试大纲及高考趋势，对函数知识点中函数与方程，函数模型及应用进行全面的剖析及发散，使学生更系统有效的掌握高中数学函数的性质和主要题型，同时在讲题和解题中渗透数学思想方法，立足基础，展望高考。教学时要加强对学生的数学思想方法以及数学能力的培养，提升学生分析和解决问题的能力，力争让每位学生知道高考“考什么，怎么考”。 函数模型的分类 函数模型类型 特点 常见函数类型 应用 直线模型 单调直线增减 一次函数 成正比例关系的有关问题 指数函数模型 自变量变大，函数值增大的速度越来越快 指数函数模型 增长率问题，银行利率问题 对数函数模型 自变量增大，函数值增大的速度越来越慢 对数函数模型 一般会给出对数模型 幂函数模型 偶函数：关于y轴对称 二次函数模型 面积问题 利润问题 产量问题 幂函数模型 奇函数： 三次函数模型 体积问题 分段函数模型 几个不同的关系式构成 常见的一些函数模型 票价与路程 税与收入 三种增长型函数模型的图象与性质 函数 y＝ax(a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴平行 随x增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而不同 以上过程用框图表示如下： 解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件． 定义在R上的函数满足：对任意实数，，总有，且当时，．试求的值；判断的单调性并证明你的结论； 试举出一个满足条件的函数．在恒等式中，令，，代入即可得到的值；任取，，且，利用恒等式将变形，再利用当时，，确定的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；利用恒等式，将等价转化为，将，从而将问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得的取值范围；根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．令，，则有，∵当x＞0时，0＜fx)＜1∴f(1)≠0， ∴一次函数与二次函数模型 1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解． 2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决． 3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 则S＝100x－y ＝100x－ ＝－x2＋300x－80 000 ＝－(x－300)2－35 000， 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． 求炮的最大射程； 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），