第3章小波变换简介.pptVIP

小波变换简介 傅立叶变换 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。 傅立叶变换 有限宽度基函数的分析方法逐步出现。基函数在频率和位置上都是变化的。“小”。 小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。 傅立叶变换 将信号分解为不同频率的正弦波的叠加 傅立叶变换 架起了时域和频域的桥梁 只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。 傅立叶变换 如果想要研究函数在区间 a,b 上的性质，一个很自然的想法就是利用函数 乘f t 傅立叶变换 这就是1945 Gabor提出的STFT short time Fourier transform 。 但是，在t＝a，b处存在间断，这会使得傅立叶变换附加新的高频成分。这种人为引入的高频成分显然不是我们希望的。频谱“泄露”问题。 窗口傅立叶变换 取一个光滑的函数g t ,称为窗口函数，在有限区间外恒等于0，或者很快的趋近于0 窗口傅立叶变换 优点： Gf ω,τ 确实包含了f t 的全部信息，并且窗口位置随τ而变，符合研究信号局部性质的要求； 缺点：Gabor窗口的大小和形状保持不变，与频率无关。但是，在实际中，窗口的大小应该随着频率的变化而变化。 窗口傅立叶变换 窗口傅立叶变换 另一个缺点是：无论怎样离散化，都不能使Gabor变换成为一组正交基； 而傅立叶变换经离散化后可得到按正交函数展开的傅立叶级数。 1909: Alfred Haar Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波 Haar wavelets 小波母函数 设 为一平方可积函数，若其傅立叶变换 满足条件： （容许性条件：频域也衰减） 称 为一个基本小波或者小波母函数。 特点：小（紧支撑，速降）；波动性（均值为0， ）；频域也衰减。 小波 小波是一个衰减的波形，在有限的区域里存在，即不为零。且其均值为零。 连续小波基函数 将小波母函数 进行伸缩和平移后得到函数 例子 可以看到，小波基函数的窗口随着尺度因子的不同而不同。a增大，时间窗口随着增大，对应的频域窗口减小，中心频率变低。 在大尺度上，基函数有哪些信誉好的足球投注网站信号中大的特征，而在较小的尺度上，则寻找信号中的细节信息。 连续小波变换CWT 小波系数的意义 Wf a,b 表示信号与尺度为a小波的相关程度。小波系数越大，二者越相似。 连续小波变换的简单步骤 选择尺度为a确定的小波，与信号开始的一段比较； 计算小波系数； 向右移动小波，重复以上两步，直至处理完整个信号； 增大尺度因子a，重复上述三步。直到完成所需的所有尺度。 图示 离散小波变换DWT 在每个可能的尺度因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大， 将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果尺度因子和平移参数为：a 2－j, b k. 2－j （j,k为整数）， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。 Mallat算法 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。 S表示原始的输入信号， 通过两个互补的滤波器组， 其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations），另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。 有限带宽信号，若将其分解为窄带分量，特别地当采用双通道子带时，对应带宽划分为两个分量（子带），例如低半带和高半带。 图示 离散小波的多分辨率分析 又称为多尺度（分辨率）分析 对多尺度的理解 若我们把尺度理解为照相机镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于照相机镜头由远及近的接近目标。 在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应近镜头下观察到的目标，可观察到目标的细微部分。因此，随着尺度的由大到小，在各个尺度上可以由粗及细的观察目标。这就是多尺度的思想。 二维离散小波变换 二维离散小波变换是一维离散小波变换的推广， 其实质上是将二维信号在不同尺度上的分