第3章DFT算法.pptVIP

第三章 离散傅里叶变换 问题的提出 离散时间信号的主要优点：可用数字计算机表示和处理 时域抽样： 连续时间信号xa(t) —— 离散时间信号（序列）x(n)= xa(t)|t=nT 时域抽样对频谱的影响 —— 频谱周期性延拓，序列的频谱 X(e jω)的周期为2π 时域抽样、频域抽样 有限长序列的傅里叶分析 3.离散非周期信号 4.周期为N 的离散周期信号 离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶级数(DFS) 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT） 有限长序列的DFT与DTFT关系： DFT与 z 变换的关系： 离散傅里叶级数(DFS)——周期序列 DFS的性质 有限长序列与周期序列的关系 离散傅里叶变换(DFT)——有限长序列 DFT与DFS的关系： DFT的性质 线性： 共轭对称性 DFT形式的帕塞瓦定理 时域、频域的能量计算相同 圆周卷积和 ——限定在(0~N-1)区间 两个N点有限长序列（0~N-1） 、 圆周卷积和与线性卷积和的关系 ⑷ 圆周相关 N点有限长序列 x(n)（0≤n≤N-1）的N点圆周相关定义为： DFT的性质 对非周期连续时间信号的傅里叶变换的DFT逼近 利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题 频率响应的混叠失真及参数的选择 频谱泄露 栅栏效应 其N点DFT分别为 、 记为: y(n)也是N点有限长序列（0≤n≤N-1） 设有限长序列 、 的长度分别为 N 和 M L点圆周卷积和 线性卷积和 (L 点) (N+M -1)点 圆周卷积和与线性卷积和相等的条件： L≥N+M-1 可以用圆周卷积和代替线性卷积和 圆周相关与圆周卷积和的关系类似于线性相关与线性卷积和的关系。 时域圆周卷积和——离散频域乘积 时域乘积——离散频域圆周卷积和 圆周相关 线性相关： 圆周相关： 线性卷积 圆周卷积 周期卷积 关 系： 傅里叶变换对： 用DFT计算这一变换对的步骤： 1. 对x(t )等间隔采样 2. 对x(n )截取有限长 3. 对 离散化 1. 对x(t )等间隔采样 频谱的变化： 2. 对x(n )截取有限长 相当于x(t )截取0~T0区间，T0称为纪录长度，满足 则 3. 对 离散化 即每个周期( fs 或Ωs )采样N个点： 则频谱 抽样 离散化 周期化 DFT 实现 利用DFT分析连续非周期信号的频谱 （1） 无限长，其频带有限 加窗 抽样 DFT （2） 有限长，其频带无限 抽样 DFT （3） 无限长，其频带无限 加窗 抽样 DFT 频率响应的混叠失真 频谱泄漏 栅栏效应 频率分辨力 抽样频率必须满足抽样定理： （抽样前加前置预滤波器，滤除信号中高于 fh的频率分量） 即时域抽样间隔满足： 对于DFT来说，频域抽样间隔为： 其中，T0为信号的纪录长度 N一定时，信号最高频率 fh与频率分辨率F0之间相互矛盾 解决方法：增加纪录长度的点数N，即满足 加窗 DFT 其中：窗函数 矩形窗 汉宁窗 哈明窗 布拉克曼窗 凯塞窗 截取有限数据，时域相乘频域周期卷积，卷积的结果使所得的频谱与原来的频谱有失真，频谱扩散（拖尾、变宽），这就是频谱泄漏 * * 问题的提出 有限长序列的傅里叶分析 离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 序列的频谱： 频域变量ω为连续变量，说明傅里叶变换不适合用 数字计算机表示和处理 为此，通过频域抽样将ω离散化，从而得到离散时间 变量n与离散频率变量 k 之间的映射——离散傅里叶变换 时域抽样 —— 频域信号具有隐含周期性（延拓） 周期 2π 频域抽样 —— 时域信号具有隐含周期性（延拓） 周期N 频域抽样： 连续频谱 X(e jω) —— 离散频谱X(k)=X(e jω)|ω=kω0 ， 频域抽样对时域的影响——时域信号周期性延拓(延拓周期为N) T 0 xa(t) t M点抽样 (M-1) n 0 x(n) 主周期 N点抽