高等数学II练习册-第9章答案.docVIP

习题9-1 多元函数的基本概念 1.求下列各函数的定义域： （1）； （2） 2.求下列各极限： （1）； （2）. （3） 令，原式 （4） 令，则原式 习题9-2 偏导数 1.求下列函数的偏导数： （1）； （2）； （3）. （4）设，其中可导，证明 解 左边右边 2.求下列函数的，和. （1）； （2）. 习题9-3 全微分 1.求下列函数的全微分： （1）； （2）. （3）. 解 ，所求的全微分为 ‘ （4） 解 ， 2.求函数，当，，，时的全增量和全微分。 3.设，求 解 故 习题9-4 多元复合函数的求导法则 1.设，而，，求，. 2.设，而，，求. 3.设，而，，求. 4.求函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数） 5.设，而，为可导函数，证明. 6.设，其中具有二阶导数，求，，. 习题9-5 隐函数的求导公式 1.设，求. 2.设，求及. 3.设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足. 4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： （1），求，. （2），求 解 方程组两边分别对求偏导数得 习题9-6 多元函数微分学的几何应用 1.求曲线在与相应的点处的切线及法平面方程。 2.求曲线，在点处的切线及法平面方程。 3.求曲线，在点处的切线及法平面方程。 4.求椭球面上平行于平面的切平面方程。 5.在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线方程． 解 设所求点为，, ， 法向量， 由题意知 ，得 法线方程： 习题9-7 方向导数与梯度 1.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。 2.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。 3.求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。 4.设，求及. 5.求函数在点处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。 6.求函数在沿着方向的方向导数． 解： 习题9-8 多元函数的极值及其求法 1.求函数的极值。 2.求函数在适合附加条件下的极大值。 3.在平面上求一点，使它到，及三直线的距离平方之和为最小。 4.将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？ 5.求函数的极值 解: 令 ，且 所以为函数的极小值点，极小值为 6.求表面积为6而体积最大的长方体的体积. 解 设长方体的长,宽,高分别为,则问题归结为在满足条件=6时求长方体的体积的最大值. 它的拉格朗日函数为 令, 有 解方程组有 长方体的最大体积为1. 复习题九 1.求下列函数的一阶和二阶偏导数： （1）； （2）. 2.设，，其中具有二阶连续偏导数，求. 3.设，，，试求和. 4.求螺旋线，，在点处的切线及法平面方程。 5. 已知具有连续偏导数且确定函数，试计算 解: 6.试证曲面上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为定值 证明: 设为曲面上任意一点 令 ; ; 切平面方程： 切平面在三坐标轴上的截距分别为 所以截距和为 16