高一数学期终复习讲义一(苏教版解三角形).docVIP

2013高三数学复习讲义 1．正弦定理 （1）三角形的各边和它所对角的正弦的比相等，即 ，称之为正弦定理 （2）利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角 从而进一步求出其他的边和角 ． （3） 已知a，b和A，用正弦定理求B时的解的情况: ①若A为锐角， ②若A为直角或钝角， （4）利用平面几何及三角函数的知识可以证明正弦定理，从而得到 2R（其中R表示△ABC外接圆的半径）； （5）利用面积法也可以证明正弦定理，同时得到计算三角形面积的公式： S△ABC ab sin C bc sin A ac sin B 2R2sinAsinBsinC ； （6）在三角形中，A B ，是准确判断并取舍解的情况的有力武器． 已知a， b和A， 用正弦定理求B时，只要比较sinA与sinB： 如果sinA≥sinB，则B有唯一解； 如果sinA sinB 1，则B有两解； 如果sinB 1，则B有唯一解； 如果sinB 1，则B无解. 2．余弦定理（1）三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，称之为余弦定理：a2 b2 + c2 2bc cos A，b2 c2 + a2 2ca cos B，c2 a2 + b2 2ab cos C． （2）利用余弦定理，我们可以解决以下两类解斜三角形的问题： ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． （3）已知三边求角时：cos A ；cos B ；cos C ． ABC中，已知A:B:C 1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c sinA: sinB: sinC 求解。 解： 例题2.在△ABC中，·tanB ·tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。 解：由正弦定理变式a 2RsinA,b 2RsinB得： , 即，， . ∴为等腰三角形或直角三角形。 【课堂精炼】 1．一个三角形的两内角分别为45°和60°，如果45°角所对边的长是6，那么60°角所对边的长为 . 2．，b 4，则满足条件的△ABC有 . 3．在ABC中，若A 60，b 1， SABC ，则 . ABC中， ； 例在△ABC中，已知，，B 45 ， 求c、A、C. 例3在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，a＝2bcosC，试判断△ABC的形状. ．，已知，且B为锐角，则此三角形的形状是 . 2．在△ABC中，已知a 7,b 8,sinC ,则c . ．，b 4，则满足条件的△ABC （ ） A．不存在 B．有一个 C．有两个 D．有两个以上 4．在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C. C A b a a b sin A 无解 C A b a a b sin A 一解 C A b a b sin A a b 两解 C A b a a≥b 一解 a B B2 B1 B A C b a a≤b A C b a a b B 无解 一解