高一C专题(函数的值域与最值1星).doc

专题：函数的值域和最值(★) 教学目标 掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法，如一元二次函数、分式形式及分段函数的函数值域的求解方法。 知识梳理 5 min. 常用的求解值域的方法有： 直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围； 配方法：适用于与二次函数有关的函数； 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解; （4）分离常数法 形如的函数可变形为函数后求值域； （5）判别式法； （6）图象法. 典例精讲 30min. 1、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。 例1、求下列函数的值域 分析：∵　，∴　， ∴，即- ∴函数的值域是 【直接法就是利用常见函数的值域来求函数的值域.】 巩固练习 1、求的值域 分析：∵ ∴ ∴　函数的值域是 . 2、配方法：适用于与二次函数有关的函数。 例2（★）已知函数，分别求它在下列区间上的值域。 （1）；　 （2）　　（3）　　　（4） 分析：（1）∵，∴ ， ∴函数的值域是. （2）∵时，图象在对称轴右边，图象递增. ∴　时，；时，； ∴在上，函数的值域为. （3）∵时，图象在对称轴左边，图象递减. ∴时， ；时，, ∴在上，函数的值域为. （4）∵时，图象含抛物线顶点，∴ 而当时，；时，, ∴ ∴在上，函数的值域为. 【配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域..】 巩固练习 1、求函数（）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系) 分析：有二次函数的图像得该函数的值域为 3、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。 例3（★）求函数的值域 分析：设 则 代入得 ∵ ∴ ∴函数的值域为 【换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域..】 巩固练习 1、（★）求函数的值域。 分析：(求值域先求定义域)令（）（引入新元要标注范围），则， ∴（） ∵当，即时，，无最小值。 ∴函数的值域为。 2、（★）求的值域 分析：(求值域先求定义域)令，则（引入新元要标注范围），且，，（这里最好利用数形结合法） . 4、分离常数法 形如的函数可变形为函数后求值域. 例4、（★）求函数的值域。 分析： ， ∵　∴ ∴ ∴函数值域为． 【形如 的值域为.】 ． 巩固练习 1、（★）求函数的值域。 分析：（此处要先求定义域）∵， ∵，∴，∴函数的值域为. 5、判别式法： 例5、（★）求函数y=值域 分析：∵， ∴函数的定义域为，原式可化为, 整理得， 若,即,则； 若,∵，即有， ∴,解得且. 综上：函数是值域是. 【判别式法一般用于分式函数，其定义域应为，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式..】 巩固练习 1、（★）求函数的值域。 分析：定义域为：∵ 由变形得， 当时，此方程无解；（特殊情况优先） 当时，∵说明方程至少有解，∴， 解得，又，∴ ∴函数的值域为 6、图象法:画出图像，根据图像的最高点、最低点来判断。 例6、（★）求函数的值域. 分析： 方法一：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（如图），由图象可知，函数的值域是. 方法二：∵函数表示数轴上的动点到两定点-1，2的距离之和，∴易见的最小值是3，∴函数的值域是. 如图 【图象法（几何法），是采用“数形结合”，利用几何性质求解的一种方法.】 巩固练习 1、（★）求函数的值域。 分析： ∵ ， ∴的图像如图所示， 由图像知：函数的值域为 7、基本不等式法：分式形式，分子和分母一个是一次函数，一个是二次函数。解题时，将一次函数还原成t（注意范围），再借助基本不等式来求值域和最值。 例7、（★）已知，求的值域. 分析：由耐克函数图像知值域为 巩固练习 1、（★）已知，求的值域. 分析：，由耐克函数的图像性质知该函数在上的值域为 8、反解法：函数式中含有可以确定范围的代数式. 例8：（★）求函数的值域。 分析：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为（定义域优先原则），对函数进行变形可得 ， ∵，（特殊情况优先原则）∴（，）， ∴，∴， ∴函数的值域为 【此类题要根据题目发现关系式中有范围的量，用表示，进而解