初中数学竞赛实数的若干性质和应用.docVIP

初中数学竞赛 实数的若干性质和应用 　实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用． 零不能做除数 是封闭的． 　　1 任何一个有理数都能写成有限小数 整数可以看作小数点后面为零的小数 或循环小数的形式，反之亦然． 　　1 证明循环小数是有理数 　　2 设a为有理数，b为无理数，则 1 a+ba-b是无理数； 除数不为零 运算，其结果仍是实数 即实数对四则运算的封闭性 ．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数． 　　2 求证是有理数 　　分析 　　证： 　　4 若a1+b1a a2+b2a 其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数 ，则a1 a2，b1 b2，反之，亦成立． 是无理数，并说明理由． 　6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数 即有理数集具有稠密性 ． 　　7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？ b4+12b3+37b2+6b-20的值． 　　9 求满足条件 　　a，x，y． 　　10 设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n 1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…an…是有理数． 练习三 　　1 证明：是有理数 比较和的大小 　　5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ 0，求证： α β 0．