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讲义5：一、线线角与线面角 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( ) (A). (B). (C). (D). 3.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.如图,正方形ABCD所在平面与正方形 ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值. 例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角. 例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC=. (1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1; (2)试问:若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论. 四、反馈练习 1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则 (A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D) BAC. 2两条直线,与平面所成的角相等,则直线,的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为 . 4已知、是一对异面直线，且、成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与、均成60o角的直线有 条. 5异面直线、互相垂直，与成30o角，则与所成角的范围是 . 6∠ACB=90ο在平面内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面所成的角为 . 7设线段AB=,AB在平面内,CA⊥,BD与成30ο角,BD⊥AB,C、D在同侧,CA=BD=.求: (1)CD的长;(2)CD与平面所成角正弦值. 2、线面角与面面角 一、知识与方法要点： 1．二面角的大小用它的平面角来度量求二面角大小的作出它的平面角(要证明)作二面角的平面角二面角二面角的平面角二面角的大小3． 两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 二、例题 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点． (1)求证：AC1平面A1BD． (2)求BM与平面A1BD成的角的正切值． 如图，把等腰直角三角形ABC斜边AB，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点．（1）求证：面AB面ABC；（2）求二面角C-B-A的余弦值． 例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面． (1)求证：(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数． B．无最小值，有最大值。 C．有最小值(，无最大值 D．有最小值(，有最大值(((。 2．下列命题中正确的是 （ ） A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个 B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个 C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条 D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个 3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （ ） A．30 B．20 C．15 D．12 4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面