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河南理工大学2009年硕士研究生入学《高等代数》试题.doc
河南理工大学2010年硕士研究生入学《高等代数》试题 参考答案 一、填空题 每小题11分 1、 2、 整除n 3、2 4、（2-3）（4-3）。。。（2n-3） _-[ 2n-3]!!] 二、判断题： 每小题11分, 1、 √ 2、√ 3、 √ 三、（11分） 证明: 计算|A|,从第2008行开始,上一行乘以-2加到下一行上, 得到一上三角形行列式 进而求得 , 所以A是可逆矩阵 四、 11分 解: 因为A与相似,所以 因此,有 而等于的特征值之和, 即证.. 五、（13分） 解: 依题意, 由于, ， 两边同时取行列式, 可得 又因为都可逆, 故 从而 , 于是可逆 六.、（13分） 证明：设 因为不可约，所以，因此， 令 这说明 在复数域上有公共根又在K上不可约， 所以 。 七、（13分） 解： 1 因为，而 故行列式因子 显然 ……2分 不变因子为 ＝＝， 初等因子为 2 若当标准型 八、（7分） 解： 1 特征多项式为 ＝ 故或者 由已知可得 ，故当时，，代入 ，得，满足题意。 当时，，代入， 舍去 故 2 当，基础解系为， 当时， ，基础解系为 令，， 再将其单位化，有 ，， 故所作的正交线性替换为，其中 九、（5分）. 证：设且，那么 令，则 ① 但 ② 由①②有 此即从而存在非零向量， ，即证
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