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二次函数根的分布（教案） 教学目标： 1、进一步理解函数与方程的关系，2、让学生学会借助图像辅助分析（数形结合法） 教学重点： 借助图像辅助分析（数形结合法） 知识要点 利用Δ与韦达定理研究的根的分布 1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 借助函数图像研究的根的分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。 【定理1】 【定理2】 【定理3】 【定理4】有且仅有（或） 【定理5】或 【定理6】，则或 二、典型例题 例1若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。 分析：利用Δ与韦达定理研究的根的分布 例2 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？ 分析：利用 例3 若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？ 分析：把x=0代入，得k=3,则可算出两根之和为5/30,所以另一根为正 例4.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围 分析：利用 例5.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围 利用零点存在定理 练习1.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围 练习2若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围 二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。 　　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。 　　1．(α,β)内，方程系数所满足的充要条件： 　　∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1) 　　当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0 　　当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0 　　两种情形合并后的充要条件是： 　　Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0?? ① 　　2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件： 　　∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2） 　　从四种情形得充要条件是： 　　f (α)·f (β)＜0　　　　　　② 　　3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件： 　　（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时： 　　∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）： 　　当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0 　　当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0 　　两种情形合并后的充要条件是： 　　　　af (α)＜0，af (β)＜0　　　　　③ 　　（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时： 　　∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）： 　　当 x1＜x2＜α时的充要条件是： 　　Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0　　　　④ 　　当β＜x1＜x2时的充要条件是： Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0　　　　　⑤ 二次函数与二次不等式 前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。 例题讲解 已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为　　　　　。 如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范围。 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根， 对二次函数f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，求证，必存在x=±M≠0，使f(±M)均与a同号。 若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n) 6．设二次函数f(x)= ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1/a。 　　（1）当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x