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试验设计与分析 目录 因子设计的一般概念 2k因子设计——22设计 2.1 因子设计的一般概念 复因子试验是指在一个试验中研究两个或两个以上因子的试验。 因子设计目的：通过对各因子及其交互作用效果来进行方差分析，从而判断各因子及其交互作用对实验指标的影响。 很多试验包含着两个、三个或更多的因子，对这些因子产生的效果都要进行研究。对这种类型的试验，最有效的是因子设计方法。 2.1 因子设计的一般概念 复因子试验具有如下几个主要特点： （1）复因子试验可同时估计单因子作用及多因子之间的相互作用。 （2）复因子试验扩大了试验研究的范围。由于复因子试验可考虑多因子间各种水平组合，从而在较大试验范围内选择出多因子不同水平的最佳组合处理。 （3）复因子试验由于增加各因子重复数，从而降低试验误差而提高试验精度。 （4）复因子试验的主要缺点是：当因子数目增加时，试验规模随之急剧增加。 2.1 因子设计的一般概念 使用因子设计方法，在每一个完全的试验或试验的多次重复中，各个因子的各个水平的所有可能的组合都要考虑。 主要效果：一个因子的效果是由因子水平的改变而引起的反应的变化，经常称为主要效果。 2.1 因子设计的一般概念 例：设某一试验有两个因子A和B，因子A有两个水平A1，A2，因子B有两个水平B1，B2，试验所得结果数据如表所示： 解:先考虑表2.1.1的情形： 因子A的主要效果可看成是在A的第一个水平下的平均反应与在第二个水平下的平均反应之差,记为A,即 A 40+52 /2 – 20+30 /2 21 因子B的主要效果是 B 30+52 /2 – 20+40 /2 11 再考虑表2.1.2的情况 因子A的主要效果是 A 50+12 /2 – 20+40 /2 1 因子B的主要效果是 B 40+12 /2 – 20+50 /2 -9 2.1 因子设计的一般概念 分别画出这两种情况的图形： 2.1 因子设计的一般概念 第一种情况下，因子A、B之间没有交互作用。 第二种情况下,因子A、B之间有交互作用。交互作用是不能忽视的,有时它比因子的作用还大, 因子设计方法是不会漏掉交互作用的。 因此,因子设计是有效的设计方法,特别是当交互作用存在的时候。 2.2 2k因子设计 假设试验中共有k个因子，每个因子都只有两个水平。这种设计的安排总共有2k个不同的组合，若每种组合下取一个观察值，总观察值共有2k个，因此叫2k因子设计。 对2k设计作如下假设： （1）因子是固定的 （2）设计是完全随机的 （3）一般都满足正态性 （4）反应近似于线性 2.2.1 22设计 假设在每一种水平组合下作n次重复观察，即取n个观察值。为分析问题的方便, 引进下列记号： A表示因子A的效果，B表示因子B的效果，AB表示交互作A×B的效果。a表示因子A在高水平、因子B在低水平情况下观察值之和；b表示因子A在低水平，因子B在高水平情况下观察值之和；ab表示因子A，B都在高水平情况下观察值之和，l表示因子A，B都在低水平情况下观察值之和。 2.2.1 22设计 因子A的平均效果:在B的低水平下为 在B的高水平下为 总平均效果是这两个数的平均值,即 2.2.1 22设计 因子B的平均效果：在A的低水平下为 在A的高水平下为 总平均效果是这两个数的平均值，即 2.2.1 22设计 1. 因子A的效果A是右边（高水平）两项之和减去右边（低水平）两项之和，再被2n除 2. 因子B的效果B是上边（高水平）两项之和减去下边（低水平）两项之和，再被2n除 3. 交互作用A×B的效果AB是右上方两高水平）与左下方（两低水平）两项之和减去左上方（A低B高）与右下方（A高B低）两项之和，再被2n除 方差分析 定义2.2.1 若有线性组合 满足约束条件 ， 则称这样的线性组合为对照（contrast），并记为 方差分析 根据式（2.2.4）和式（2.2.5），从式（2.2.1），式（2.2.2）和式（2.2.3），可以定义因子A，B，交互作用A×B的总效果分别为： 方差分析 因此，A，B，AB 的离差平方和分别为 解 由表2.2.1，求出 52 40 A2 30 20 A1 B2 B1 因子B 因子A 12 50 A2 40 20 A1 B2 B1 因子B 因子A 试考察因子A，B的效果。 表2.1.1 两因子实验数据 表2.1.2 两因子实验数据 因子A 因子B 52 40 A2 30 20 A1 B2 B1 因子A 因子B 2.2.1 22设计 交互作用A×B的平均效果AB定义如下： 它是在B的高水平下与在B的低水平下，A的平均效果之差的平均值，即： 也可以看作在A的高水平下与在A的低水平下，B的平均效