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初三数学经典大题解析 1．已知抛物线与x轴交于不同的两点和，与y轴交于点C，且是方程的两个根（）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积； （3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程，得．………………1分 ∴点，点． ∴ 解，得 ∴抛物线的解析式为． 2分 （2）∵抛物线与y轴交于点C． ∴点C的坐标为（0，2）． 又点，可求直线BC的解析式为． ∵AD∥CB，∴设直线AD的解析式为． 又点，∴，直线AD的解析式为． 解，得， ∴点D的坐标为（4，）． 4分 过点D作DD’轴于D’， DD’＝，则又AB＝4． ∴四边形ACBD的面积＝AB?OC+AB?DD’＝ 5分 （3）假设存在满足条件的点R，设直线l交y轴于点E（0，m）， ∵点P不与点A、C重合，∴0 m 2，∵点，点， ∴可求直线AC的解析式为，∴点． ∵直线BC的解析式为，∴点． ∴．在△PQR中， ①当RQ为底时，过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ＝90°，PQ＝PR1＝m，解得，∴点， ∴点R1坐标为（，0）． 6分 ②当RP为底时，过点Q作Q R2⊥x轴于点R2， 同理可求，点R2坐标为（1，0）． 7分 ③当PQ为底时，取PQ中点S，过S作SR3⊥PQ交x轴于点R3PR3＝R3，∠PR3Q＝90°．∴PQ＝2R3S＝m．∴，解，得， ∴点，点，可求点R3坐标为（点R1，点R2，点R3综上所述，存在满足条件的点R，它们分别是R1（，0），R2（1，0）和点R3（，0）． 2.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA． (Ⅰ)求抛物线的解析式； (Ⅱ)探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； (Ⅲ)直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC＝??，∠CBE＝??，求??－??的值． 答案：，且．． 代入，得 （II）①当可证∽ ． ②同理: 如图当 ③当 综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，． （III）．． ∴． ． ． 又 ．． ． 3. 抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6. 求此抛物线的解析式； 在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标； 抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在求出P点坐标若不存在请说明理由. ，把A（－1，0）代入得. ∴直线AC的解析式为. ………………………………………………1分 依题意知，点Q的纵坐标是－6. 把代入中，解得，∴点 Q（1，） ∵点Q在抛物线的对称轴上，. 设抛物线的解析式为，由题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）如图①，过点C作AC的垂线交抛物线于点D， 交x轴于点N，则 ∴，∴. ∵，，∴. ∴点N的坐标为（9，0） 可求得直线CN的解析式为. 图① 由，解得，即点D的坐标为（，）. （3）设抛物线，，. ∵， 且， 又，∴. 设P（1，m）， 图② ①当点P在点M上方时，PM＝m＋4＝3，∴，∴P（1，－1）. ②当点P在点M方时，PM＝m＝3，∴，∴P（1，－）. 综上所述，点P的坐标为（1，－1）（1，－）.′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围． 答案： 5．关于的一元二次方程有实数根，且为正整数. （1）求的值； （2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点. 点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长； （3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与（2）中的直角梯形只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写出的取值范围. 解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ △=.∴ 又∵ 为正整数，∴ . （2）∵ 方程两根均为整数，∴ . 又∵ 抛物线与x轴交于A、B两点，