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⒋常见的条件数 特别地：A对称时 λ1, λn分别为A按绝对值最大和最小的绝对值 例3 在例1和例2中 三、近似解的误差 定理 设(1) A非奇异, 的精确解， (2) 的近似解， （残向量） 则 定理表明： (1) 当Cond(A)较小, 即良态方程组, 小, 解的精度高. 当Cond(A)较大, 即病态方程组, 即使 很小, 则解 的精度也不一定高。. 残向量越小,方程的近似解 越精确对吗? 例4 显然 的精度高，但它的残向量却大。 §4 迭 代 法 回顾： 推广： 引例 方程组的精确解为 解 把(1)式改写为 取初值 带入上式右端，可得 再将 带入上式右端，可得 从而得到一向量序列 迭代到第10次有 逼近方程组的精确解 一、基本概念 定义1：对方程组 ,由迭代格式 求近似解的方法称迭代法。 定义2：若 存在且记做 ，称迭代法收敛， 否则发散。 对上述方程组作如下变形 二、常用迭代格式 1. Jacobi迭代法(简单迭代法) 设 ，则从第i个方程解出 以上公式是如何得到的呢? 2. LU 分解的计算公式 定理 同样,由 综合以上分析,有 因此可以推导出 U的第一行 L的第一列 ------(1) ------(2) U的第r行 L的第r列 ------(3) ------(4) 称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为LU分解. 思考 计算次序与计算规律： 注意：1.计算 时，用 减去位于同一行的 与同一 列的 乘积之和； 2.计算 时，规律同上并除以 。 例 用LU分解法求下列方程组 解 (1)求A的LU分解 承上页 3.说明： (1) LU分解法实际上是高斯消去法，是 其矩阵形式。 (2) LU分解法在解系数矩阵相同的多个方 程时，具有节省计算量的明显优势。 (3) LU分解法成立的条件同高斯消去法, 或书上的定理2. (4) 选主元的LU分解法可参见[4]. 二、乔累斯基分解法 （系数矩阵正定对称的方程组） 其中 定理 1. 正定矩阵的LDLT分解 A=LU= A对称正定=uii 0 =LDLT A=LU=LDLT 其计算公式如下： 类似于LU分解的公式求解 可得到矩阵的LDLT分解的计算公式 2.方程组求解 从而易得 3.计算量 约 次乘法 平方根法 计算： 称为平方根法， 因为带了开方运算，因此不常用 结论：若A对称正定，则有下三角矩阵R，使得 A=RRT 一个模拟计算机求解的例子 1 –2 3 –7 1 1 1 1 5 –1 4 – 3 13 –2 –1 –2 –5 2 0 6 –5 4 –19 1 1 1 1 5 1 1 –2 3 –7 –5/2 4 –4 1 1 1 1 5 –2 –1 2 0 6 1 1 –2 3 –7 3 –2 1 1 1 1 1 –2 –1 2 0 3 –5/2 4 –1 1 1 –2 3 2 3 –2 §3 方程组的性态和条件数 例1 良态方程组 例2 病态方程组 问题：①如何估计误差向量的大小？ ②如何对方程组的性态进行判断？如何衡量 其病态程度? 性态对解的影响？ 一、范数 1、向量范数 ⑴ 定义 对 ,若对应非负实数 满足： 则称 为向量 的范数或模。 ⑵ 常见的向量范数 ∞范数 1范数 2范数 例如： ⑴ 定义 2、矩阵范数 设A为n阶方阵，||A||是对应于A的实数，且满足： 则称||A