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目 录 摘 要 1 关键词 1 Abstrac 2 Key?Words 2 引言 2 1．三角形方程组的解法 3 2．高斯消去法 4 2.1消去法的可行性 6 2.2消去法的C语言算法 7 2.3消去法的工作量 7 3．主元素消去法 8 4．回代过程的主元消去法 11 4.1.消去法的应用 12 结束语 13 参考文献 14 消去法求解方程组 姓名: 王圣婕 学号:20095034043 数学与信息科学学院 信息与计算科学 指导老师:彭玉成 职称:教 授 摘 要：本文主要介绍高斯消去法解线性方程组以及它在各种问题中的应用. 关键词: 方程组；主元素；矩阵. Elimination Method for Solving Linear Euations Abstrac：This paper is to introduce the gaussian elimination method both for solving linear equations and its application. Key?Words：Linear equations; host element; matrix 引言 解线性方程组问题是科学研究和工程实际问题中经常遇到的一个问题，线性代数学理论告诉我们有许多有效可行的计算方法.然而，当n较大时解线性方程组变得相当困难介绍的高斯消去法与消去变换是目前用来解多元线性方程组的方法中比较简单可行的方法 高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解.下面先讨论三角形方程组的解法. 1.三角形方程组的解法 三角形方程组是指下面两种形式的方程组 （1.1） 和 （1.2） 方程组（1.1）叫做下三角形方程组，方程组（1.1）叫做上三角形方程组，三角形方程组的求解是很简单的. 如果aii( 0，i = 1, 2,…, n，则（1.2）的解为 k = 2, 3,…, n （1.3） 此过程称为前推过程. 同样地，若aii ( 0, i = 1, 2,…, n，则（1.3）的解为 （1.4） 此过程称为回代过程. 从上面的公式来看，求出xk，需要作k – 1次乘法和加减法及一次除法，总共完成次乘法、加法及n次除法. 从（1.3）、（1.4）可以看出，求解三角形方程组是很简单的，只要把方程组化成了等价的三角形方程组，求解过程就很容易完成. 消元法的基本思想就是通过对方程组做初等变换，把一般形式的方程组化为等价的具有上述性质的易解方程组.。 2．高斯消去法 高斯消去法是我们熟悉的古老、简单而有效的解方程组的方法. 为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想. 例 把方程（I）乘（）后加到方程（II）上去，把方程（I）乘（）后加到方程（III）上去，即可消去方程（II）、（III）中的x1，得同解方程组 将方程（II）乘（）后加于方程（III），得同解方程组： 由回代公式（1.4）得 x3 = 2 x2 = 8 x1 = -13 下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将bi写成ai, n+1，i = 1, 2,…,n。 （2.1） 如果a11 ( 0，将第一个方程中x1的系数化为1，得 其中 j = 1, …, n + 1 （记 i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n + 1） 从其它n –1个方程中消x1，使它变成如下形式 （2.2） 其中 由方程（2.1）到（2.2）的过程中，元素起着重要的作用，特别地，把称为主元素. 如果（2.2）中，则以为主元素，又可以把方程组（2.2）化为： （2.3） 针对（2.3） 继续消元，重复同样的手段，第k步所要加工的方程组是： 设，第k步先使上述方程组中第k个方程中xk的系数化为1： 然后再从其它（n - k）个方程中消xk，消元公式为： (2.4) 按照上述步骤进行n次后，将原方程组加工成下列形式： 回代公式为： （2.5） 综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工