理论力学-第13章.ppt

4. 本例讨论： 系统运动微分方程可分别采用两种方法求解，应用方法一时，要注意在系统上正确施加惯性力，并用广义加速度表示惯性力；而应用方法二时，则要求将系统的动能用广义坐标和广义速度表示，并需要正确计算广义力。最后求刚体的角加速度时，可直接采用系统二元一次运动微分方程组求解。 ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 例 题 2 在光滑的水平面上放置重力为G1的三棱柱ABC，其水平倾角为q 。一重力为G2，半径为r的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动滚下，如图所示。试求：系统运动微分方程。 解：1. 分析系统的自由度，选取广义坐标 此系统为两个自由度的系统，因此选取三棱柱的水平位移x与圆轮转角j为广义坐标。 2. 系统的运动与受力分析 ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 当圆轮沿斜面向下滚动时，三棱柱将向后运动。假设，三棱柱后退的加速度为a1， aa = ae + ar = a1 + ar 三棱柱的加速度a1即为圆柱质心O的牵连加速度ae a1 ar ae 则根据加速度合成定理，圆轮质心O的绝对加速度 圆轮质心O相对于三棱柱的加速度为ar ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 3．用广义加速度表示惯性力 FI2c FI1 G1 ?x MI2x G2 FI2r ?? ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 4．建立系统运动微分方程 方法一：应用动力学普遍方程 对应于相互独立的虚位移?x、?? ，应用虚位移原理写出： ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 代入惯性力的表达式，得 最后得到系统运动微分方程： 整理简化后，得 ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 方法二：应用第二类拉格朗日方程 由于所研究的系统为保守系统，可以写出拉格朗日函数。系统的动能为 其中 系统的势能为 ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 则拉格朗日函数为 代入保守系统下第二类拉格朗日方程 则有 ? 动力学普遍定理和拉格朗日方程的应用 * TSINGHUA UNIVERSITY 第3篇 工程动力学基础 理论力学 *第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程 第3篇 工程动力学基础 在牛顿第二定律的基础上所建立的动力学普遍定理，通过矢量形式表示物体运动与相互作用力之间的关系，故称之为“矢量力学”。 用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为第二类拉格朗日方程，它形式简洁、便于计算，广泛用于求解完整约束的复杂质点系动力学问题。 *第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程 分析力学则采用能量与功来描述非自由质点系的运动与相互作用力之间的关系，即通过将惯性力引入非自由质点系，从而将动力学问题在形式上转化为静力学问题后，再应用虚位移原理所建立的动力学普遍方程，采用分析力学的方法解决力学问题，弥补了矢量力学在求解具有复杂约束系统和变形体动力学问题方面所存在的不足。 ? 动力学普遍方程 ? 第二类拉格朗日方程 ? 动力学普遍方程和 拉格朗日方程的应用 ? 结论与讨论 *第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程 返回 ? 动力学普遍方程 *第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程 考察由n个质点组成的理想约束系统。根据达朗贝尔原理，系统中第i个质点的惯性力与质点所受主动力和约束力组成平衡力系，即 Fi + FNi - miai = 0，i = 1，2，…，n ? 动力学普遍方程 式中，mi、ai、Fi和FNi分别为质点系中第i个质点的质量、加速度、所受主动力和约束力。若给系统任一组虚位移dri（i = 1，…，n），则系统的总虚功为 ? 动力学普遍方程 利用理想约束条件： 系统的总虚功变为: 上式称为动力学普遍方程（generalized equations of dynamics）。它表明，任一瞬时作用于理想、双侧约束系统上的主动力与惯性力在该系统任意虚位移上的虚功之和为零。 ? 动力学普遍方程 若将式中的各矢量分别表示为直角坐标形式 则得到动力学普遍定理的解析表达式： 需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统，不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。 返回 ? 第二类拉格朗日方程 *第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程 ? 第二类拉格朗日方程 在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标之间的关系。 将动力学普遍方程用独立