中考数学专题复习——线段和差的最小值问题.ppt

中考数学中的最短问题 ----线段和、差的最值问题 学习目标 掌握线段和、差最值的求解方法。 知识准备 1、轴对称的性质； 2、两点之间线段最短； 3、垂线段最短； 4、勾股定理； 5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对 称性。 A B 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 街道 P P’ A B A’ P 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 街道 P’ 求线段和最小值的一般步骤： ②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P， 点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。 ①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’； B A’ P L A 基本图形:两点一线 B B’ P L A 基本解法:利用对称性,将“折”转“直” 出题背景变式有： 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题思路： 找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。 类型1：两个定点，一个动点 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________． A D C B M N P M’ P’ 5 1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段_____ 的长度，最小值等于_________； 2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。 练习 A’ P C B A E P D C DE 5 3、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 （2）△BPG周长的最小值是 。 F E P G C B A P’ 3 2 4、已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P的位置. A B C O P D D’ P’ 类型2：两个动点，一个定点 （陕西省）如图3，在锐角△ABC中，AB= ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动点，则BM+MN 的最小值是_________ ． 1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小 值为（ ） 　 A、1 B、 C、 2 D、 +1 A Q B P K C D P’ Q’ K’ B E 练习： 类型3：多条线段和最小 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2,4），点B的坐标是（6,2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。 B’ A’ P’ Q’ . P Q . 练习：著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 类型4：先平移，再对称 如图11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. （2）如图13，作点D关于x轴的对称点 ，在CB边上截取CG=2，连接 G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GC∥EF，GC=EF，所以 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF. 又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小. 因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG