届高考数学第一轮复立体几何专题题库27.docVIP

321. 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN＝AC∶BF，求证：MN∥平面CBE. 解析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化. 证：连AN并延长交BE的延长线于P. ∵ BE∥AF，∴ ΔBNP∽ΔFNA. ∴ ＝，则＝. 即 ＝. 又 ＝，＝， ∴ ＝. ∴ MN∥CP，CP平面CBE. ∴ MN∥平面CBE. 322. 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行. 已知：α∩β＝a,l∥α,l∥β.求证：l∥a. 解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质. 证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b. 过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c. ∴ b∥c，显然cβ.∴ b∥β. 又 bα，α∩β=a，∴ b∥a. 又 l∥b. ∴ l∥a. 评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用. 323. 如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP∶PC＝1∶2，SQ∶SB＝2∶3，SR∶RD＝2∶1.求证：SA∥平面PQR. 解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可. 证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ON∥SA. ∵＝＝ ∴RQ∥BD ∴＝而＝ ∴＝ ∴PM∥ON ∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR ∴ SA∥平面PQR. 评析：利用平几中的平行线截比例线段定理. 三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化. 324. 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上. 证明 如图，设直线a∥平面α，点A∈α,A∈直线b,b∥a，欲证bα.事实上，∵b∥a，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，∵a∥α,∴a∥c，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即bα. 325. S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD＝CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ. 证 在ΔADC中，因AE∶AD＝CF∶CD，故EF∥AC，而AC平面ACS，故EF∥平面ACS.而RQ＝平面ACS∩平面RQEF，故EF∥RQ(线面平行性质定理). 326. 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E＝C′F求证：EF∥平面AC. 解析： 如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行. 证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN ∵BB′⊥平面AC ∴ BB′⊥AB，BB′⊥BC ∴EM⊥AB，FN⊥BC ∴EM∥FN，∵AB′＝BC′，B′E＝C′F ∴AE＝BF又∠B′AB＝∠C′BC＝45° ∴RtΔAME≌RtΔBNF ∴EM＝FN ∴四边形MNFE是平行四边形 ∴EF∥MN又MN平面AC ∴EF∥平面AC 证法2 过E作EG∥AB交BB′于G，连GF ∴＝ ∵B′E＝C′F，B′A＝C′B ∴＝ ∴FG∥B′C′∥BC 又∵EG∩FG＝G,AB∩BC＝B ∴平面EFG∥平面AC 又EF平面EFG ∴EF∥平面AC 327. 如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)CD∥平面EFGH 证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG， ∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD. ∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB. ∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH. (2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH. 评析：由线线平行线面平行线线平行. 328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交. 已知：a∥b,a∩α＝A，求证：b和α相交. 证明：假设bα或b∥α. 若bα，∵b∥a，∴a∥α. 这与a∩α＝A矛盾，∴bα不成立. 若b∥α，设过a、b的平面与α交于c. ∵b∥α,∴b∥c,又a∥b ∴a∥c ∴a∥α这与a∩α＝A矛盾.∴b∥α不成立. ∴b与α相交. 329.求证：如果两