计算方法课件6.pptx

第六章方程组的数值解法本章内容§6.1 引言§6.2 高斯消去法§6.3 选主元素的高斯消去法§6.4 矩阵的三角分解§6.5 解三对角线方程组的追赶法§6.6 解对称正定矩阵方程组的平方根法§6.7 向量和矩阵的范数§6.8 解线性方程组的迭代法§6.10 病态方程组和迭代改善法小结作业与实验/47本章要求1. 理解高斯消去法的基本原理，熟练掌握高斯主元消去法；2. 理解矩阵的三角分解；3. 掌握解三对角线方程组的追赶法，掌握平方根法；4. 了解矩阵范数、条件数。5. 熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用;6. 熟悉Jacobi迭代法及其相应的Seidel迭代法的计算公式以及它们的收敛条件;7. 熟悉SOR方法的计算公式及其收敛条件。/47§6.1 引言本节内容一. 线性方程组解法二. 直接法与迭代法比较返回章节目录/47§6.1 引言一. 线性方程组解法工程中几乎有一半的问题涉及到线性方程组的求解设 n 阶线性方程组/47§6.1 引言A 称为方程组的系数矩阵，当是 n 阶非奇异矩阵时，既 ?A ??0，此时方程组有唯一解。 X 阵是解向量，B 阵是常向量。 在线性代数中学过用克莱姆法则求解，它是一种直接法(属于解析法)，但随着n??计算工作量?/47§6.1 引言自学并理解/47§6.1 引言二. 直接法与迭代法比较各有优缺点解方程组的数值解法：直接法与迭代法优缺点比较直接法：经有限次计算得准确解(在无舍入误差下),实际上舍入误差客观存在, 得到的依然还是近似解。由于受到计算机存储容量的限制，一般来说，仅适于系数矩阵阶数不太高的问题，其工作量(计算量)较小、精度较高，但程序设计复杂。迭代法将问题构成一个无穷序列，逼近准确解。主要用于某些系数矩阵阶数较高的问题，一般来说，程序较为简单、易于编程，但存在收敛性及收敛速度的问题，只对具有某些性质的系数矩阵的方程组才适用。工作量有时较大。/47§6.1 引言实际计算时，应根据问题的特点和要求来决定方法的取舍。本章介绍的求解线性代数方程组的直接法有Gauss(高斯) 消元法和LU分解等；迭代法有Jacobi(雅可比)迭代和Gauss-Seidel(高斯-赛德尔)迭代。/47§6.2 高斯消去法顺序高斯消去法本节内容一. 引言二. 例子三. 顺序Gauss消去法四. Gauss消去法计算量返回章节目录/47§6.2 高斯消去法一. 引言是一个古老的求解线性方程组的方法。改进和变形得到高斯选主元素消去法（第3节）、三角分解法（第4节）n 元线性方程组 的直接解法。（式1） /47§6.2 高斯消去法方程组(1)的矩阵形式为 Ax=b 其中/47§6.2 高斯消去法线性代数：方法不好时工作量非常大， 工作量小的方法是 Gauss 消去法。 Cramer法则是一种不实用的直接法，本章介绍几种实用的直接法。 Gauss消去法是一种规则化的加减消元法，其基本思想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为等价的上三角形方程组的求解。/47§6.2 高斯消去法二. 例子为清楚起见，先看一简单 例子。考虑线性方程组1.消去后两个方程中的x1得：2.再消去最后一个方程的x2得：3.消元结束,经过回代得解:/47§6.2 高斯消去法上述求解的消元过程可用矩阵表示为: 这是高斯消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的线性方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解/47§6.2 高斯消去法三. 求解线性方程组(1)的顺序Gauss消去法 记 则,线性方程组(1)的增广矩阵为/47§6.2 高斯消去法 /47§6.2 高斯消去法 /47§6.2 高斯消去法 /47§6.2 高斯消去法 （式2） （式3） /47§6.2 高斯消去法/47§6.2 高斯消去法结论： （1）高斯消去法分消元、回代两过程。 （2）从矩阵分解角度看： 消去是解一个下三角方程组， 回代是解一个上三角方程组。 （3）消去法顺利进行必须满足 akk (k) ?0,(k=1,2,…,n)， 若出现akk (k) =0，则 可交换行列后再进行消元。/47§6.2 高斯消去法四. Gauss消去法计算量(n-k)(n-k)2/47§6.2 高斯消去法/47§6.2 高斯消去法乘除法耗时大大多于加减法耗时，故高斯消元法的计算量为O(n3)。n=20时,顺序Gauss消去法只需3060次乘除法运算。顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法。/47§6.2 高斯消去法/47§6.3 选主元素的高斯消去法本节内容一. 问题提出二. 选主元素消去法三. 高斯列主元消去法N-S图四. 高斯-约当消去法返回章节目录/47§6.3 选主元素的高斯消去法一. 问题提出/47例1：单精度解方程组8个8个8个§6.3 选主元素的高斯消