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由数列的前n项和sn求通项an的问题探究 广东省深圳市福田外国语高级中学（518038） 杜贵琼 【内容摘要】数列 的通项与前n项和的关系问题是高中数学的一个重要知识，也是有关数列知识的高考题中经常考查的内容之一，学生在对与的关系把握中，容易犯错误，下面就与的关系问题作一探究。 【关键字】通项化归 等价转化 同类转化 定义：数列 中，我们把称为数列 的前n项和，根据定义有 ，所以。 等差数列的通项与前n项和的关系 （1）我们知道，等差数列的前n项和公式为：（*） 于是可知，若（其中，即），所以,即数列 是以首项为，公差的等差数列。 特别地，当时，,即数列 是每项为的等差常数列。 （2）又因为等差数列的通项公式: 代入（*）可得到，即是关于的特殊二次函数的形式。 特别地，当时，,即数列 是等差常数列。 【例题1】已知数列 中，，求。 【解析】∵符合的形式，则数列 是等差数列， ∴。 【例题2】已知数列 中，求。 ∵， 符合的形式，则数列 是等差数列， ∴，，∴。 点评：本题也可以应用公式求出通项，但如果熟悉等差数列的与前n和的关系更容易加强理解等差数列的特点。 等比数列的通项与前n项和的关系 （1）当时，等比数列的前n项和公式为： ，于是可知当（其中）时，所以，数列 是以为公比的等比数列。 特别地，当时，，于是当数列 是每项都为等比常数列。 （2）当时，又因为 ，于是可知当（其中 ）时，所以，即数列 以的等比数列。 特别地，当时，，，于是当 是每项为等比常数列。 【例题1】（1）已知数列 中，，求。 2 已知数列 中，，求。 【解析】（1）∵符合的形式，所以数列 是等比数列； ∴，即。 （2）∵符合的形式，所以数列 是公比为1的等比数列，即。 【例题2】（1）已知数列 中，求。 2 已知数列 中，，，求。 【解析】（1）∵符合的形式，即数列 是等比数列且 ， ∴，∴ （2）∵，所以数列 是公比为1的等比数列，即。 点评：本题也可以应用公式求出通项，但如果熟悉等比数列的与前n和的关系更容易加强理解等比数列的特点。 三、运用公式把转化为求解 【例题1】已知数列前n项和，求通项公式。 【解析】由得： 于是 所以，即 上式两边同乘以得： 由，得： 于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 ，故 点评：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 四、运用公式把转化为求解 【例题】已知正数数列 的前n项和，求 的通项公式． 【解析】∵，所以 1． ∵ ∴+， ∴ ，即 1 ∴是以1为首项，公差为1的等差数列． ∴，即 ∴ －（n≥2）， ∴ －． 点评：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.